Question

如何证明“过抛物线准线上的点做抛物线两条切线，则两个切点所在直线过焦点。”

Answer 1

证明：不妨设抛物线是x^2=4py(p>0),准线是y=-p,焦点F(0,p)\x0d\x0a设M(t,-p)是准线上任意一点,过M作抛物线的两条切线MA、MB,A、B是切点。\x0d\x0a\x0d\x0a因A、B在抛物线上，设A(2pm,pm^2),B(2pn,pn^2) (m≠n)\x0d\x0a由x^2=4py 得y=x^2/(4p), y'=x/(2p)\x0d\x0a\x0d\x0a在A处切线斜率k=m,切线方程是mx-y-pm^2=0\x0d\x0a它过M(t,-p)得 mt+p-pm^2=0\x0d\x0a即 pm^2-tm-p=0 (1)\x0d\x0a\x0d\x0a在B处切线斜率k=n,切线方程是nx-y-pn^2=0\x0d\x0a它过M(t,-p)得 nt+p-pn^2=0\x0d\x0a即 pn^2-tn-p=0 (2)\x0d\x0a\x0d\x0a由(1)(2) 得m,n是方程z^2-tz-p=0的两个根\x0d\x0a得 m+n=t/p, 且 mn=-1 (3)\x0d\x0a\x0d\x0a由A(2pm,pm^2),B(2pn,pn^2) (m≠n)可得直线AB的方程是\x0d\x0a(m+n)x-2y-2pmn=0\x0d\x0a将(3)代入得 (t/p)x-2y+2p=0\x0d\x0a\x0d\x0a即 tx-2p(y-p)=0\x0d\x0a该直线恒过F(0,p) .\x0d\x0a得证。\x0d\x0a\x0d\x0a希望能帮到你！