Question

设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数且f(a)=f(b)=0,求证f(x)a到b的积分小于M(b-a)^3/12

Answer 1

将f(x)在任意x∈(a,b)点处泰勒展开。

f(a)=f(x)+f'(x)*(a-x)+f''(ξ)/2*(a-x)^2，其中ξ介于x和a之间。

f(x)=f'(x)*(x-a)-f''(ξ)/2*(x-a)^2。

∫(a,b)f(x)dx=∫(a,b)f'(x)*(x-a)dx-∫(a,b)f''(ξ)/2*(x-a)^2dx。

=∫(a,b)(x-a)d[f(x)]-f''(ξ)/6*(x-a)^3|(a,b)。

=(x-a)f(x)|(a,b)-∫(a,b)f(x)dx-f''(ξ)/6*(b-a)^3。

所以∫(a,b)f(x)dx=-f''(ξ)/12*(b-a)^3。

因为|f''(ξ)|<=M。

所以|∫(a,b)f(x)dx|<=M/12*(b-a)^3。

扩展资料：

二阶导数的性质：

（1）如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么对于区间I上的任意x,y，总有：

f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2]，如果总有f''(x)<0成立，那么上式的不等号反向。

几何的直观解释：如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。

（2）判断函数极大值以及极小值。

结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于0，而二阶导数大于0时，为极小值点。当一阶导数等于0，而二阶导数小于0时，为极大值点；当一阶导数和二阶导数都等于0时，为驻点。