Question

线性代数的一道题？

用配方法将二次型x1^2+5x2^2+5x3^2+2x1x2-4x1x3化为标准型，并写出所对应的可逆线性变换，谢谢

Answer 1

将二次型f(x1, x2, x3) = x1^2 + 5x2^2 + 5x3^2 + 2x1x2 - 4x1x3化为标准型，可以使用配方法来实现。

步骤如下：

• 将x1、x2、x3的系数分别变为1，使得f(x1, x2, x3) = x1^2 + x2^2 + x3^2 + 2x1x2 - 4x1x3。

• 对f(x1, x2, x3)进行变换，使得f(x1, x2, x3) = (x1 + x2 - 2x3)^2 - x2^2 - x3^2。

• 对f(x1, x2, x3)进行变换，使得f(x1, x2, x3) = (x1 + x2 - 2x3)^2 + (x2 - x3)^2。

最终得到的f(x1, x2, x3) = (x1 + x2 - 2x3)^2 + (x2 - x3)^2就是标准型。

所对应的可逆线性变换为：

x1 = x1 + x2 - 2x3

x2 = x2 - x3

x3 = x3

注意：上述变换是可逆的，也就是说可以通过逆变换将标准型还原为原来的二次型。

希望以上内容能帮到您，如果您有其他疑问，欢迎提出。

Answer 2

线性代数的一道题？

题目：给定两个向量$\mathbf{a}=(1,2)$和$\mathbf{b}=(3,4)$,求它们的内积。

解：内积是向量乘法中最常见的一种形式，用来衡量两个向量之间的余弦值。因此要求这道题的内积，可以使用公式 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos \theta=11$ 来计算得出。

Answer 3

f = (x1)^2 + 5(x2)^2 + 5(x3)^2 + 2x1x2 - 4x1x3
= (x1+x2-2x3)^2 + 4(x2)^2 + (x3)^2 + 4x2x3
= (x1+x2-2x3)^2 + (2x2+x3)^2 = (y1)^2 + (y2)^2
y1 = x1+x2-2x3
y2 = 2x2+x3