Question

离散数学(谓词逻辑)

Answer 1

为了研究简单命题句子内部的逻辑关系，我们需要对简单命题进行分解，利用个体词，谓
词和量词来描述它们，并研究个体与总体的内在联系和数量关系，这就是谓词逻辑或一阶逻辑

在原子命题中，可以独立存在的客体（句子中的主语、宾语等），称为个体词。而用以
刻划客体的性质或客体之间的关系即是谓词。

个体词可分为两种，个体常量和个体变量，均在个体域内取值。

设 D 为非空的个体域，定义
(表示 n 个个体都在个体域 D 上取值) 上取值于{0, 1}上的 n 元
函数，称为 n 元命题函数或 n 元谓词，记为P(x1, x2, · · · , xn)。其中，个体变量x1, x2, · · · , xn ∈ D。
1 表示具体性质或关系的谓词称为谓词常量。
2 表示抽象的或泛指的性质或关系的谓词称为谓词变量。

如果王童是一个三好学生，那么她的学习成绩一定很好。
设 S(x):x 是一个三好学生，H(x)：x 学习成绩好，a：王童,
则该命题符号化为：S(a) → H(a)
李新华是李兰的父亲并且李兰和张三是同班同学。
设 F(x, y):x 是 y 的父亲，M(x, y)：x 与 y 是同班同学，b: 李新华，c: 李兰，d: 张三，
则该命题符号化为：F(b, c) ∧ M(c, d)

全称量词 (∀x): 所有的 x；任意的 x；一切的 x；每一个 x；· · ·
存在量词 (∃x): 有些 x；至少有一个 x；某一些 x；存在 x；· · ·

其中的 x 称为作用变量。一般将其量词加在其谓词之前，记为 (∀x)F(x)，(∃x)F(x)。此时，F(x)称为全称量词和存在量词的辖域。

统一个体域为全总个体域，而对每一个句子中个体变量的变化范围用一元特性谓词刻划之。这种特性谓词在加入到命题函数中时必定遵循如下原则：
对于全称量词 (∀x)，刻划其对应个体域的特性谓词作为蕴涵式之前件加入。
对于存在量词 (∃x)，刻划其对应个体域的特性谓词作为合取式之合取项加入。

若 P(x1, x2, · · · , xn) 是 n 元谓词，t1,t2, · · · ,tn 是项，则称 P(t1,t2, · · · ,tn) 为原子谓词公式，简称原子公式。
满足下列条件的表达式，称为合式公式(well-formed formulae/wff)，简称公式。

给定一个合式公式 G，若变元 x 出现在使用变元的量词的辖域之内，则称变元 x 的出现为约束出现，此时的变元 x 称为约束变元。若 x 的出现不是约束出现，则称它为自由出现，此时的变元 x 称为自由变元。

设 G 是任意一个公式，若 G 中无自由出现的个体变元，则称 G 为封闭的合式公式，简称闭式。

在命题逻辑里，每一公式都有与之等值的范式，范式是一种统一的表达形式，当研究一个公式的特点 (如永真、永假) 时，范式起着重要作用。对谓词逻辑的公式来说，也有范式，其中前束范式与原公式是等值的，而其它范式与原公式只有较弱的关系。