Question

二次函数在指定区间上恒成立问题的充分必要条件的有关问题,很简单的!大家帮我看一下,看是否正确,谢谢! 0分

当X属于[m,n]时,f(x)=ax^2+bx+c>0恒成立的充要条件为x=-b/2a>n且f(n)>0且f(m)>0;
或x=-b/2a<m且f(n)>0且f(m)>0;
或x=-b/2a在[m,n]之间f(-b/2a)>0.
但有的题中却不讨论对称轴x=-b/2a,直接由判别式和f(n)>0且f(m)>0得题中的参数范围,若讨论了,得出的最后答案就与正确答案不同,为啥呢?
啥时候讨论对称轴,啥时候不讨论对称轴呢?请赐教!

Answer 1

条件1：x=-b/2a>n且f(n)>0且f(m)>0;
条件2：x=-b/2a<m且f(n)>0且f(m)>0;
条件3：x=-b/2a在[m,n]之间f(-b/2a)>0.
条件1和条件2是正确的。
因为当对称轴在区间之外时，二次函数在该区间总是单调的。
条件3有问题。
当a>0时，f min= f(-b/2a) >0, 条件3正确。
当a<0时，f min=min{f(m),f(n)}, 条件3不正确。
我的好友，不错。建议你分a>0和a<0讨论更容易完美。

闭区间上的二次函数符号问题，当对称轴含有参数（动轴），当区间含有参数（动区间），一般都要讨论对称轴位置。