Question

sinx分之一是连续的吗？

Answer 1

sinx分之一不是连续函数的原因是：

函数在某一点a连续，则当x趋近于a时一定存在极限。 sinx在R上连续，sinx在任意点处的极限都存在，就是这点的正弦值。所以不能脱离x的范围或位置说一个函数连续与否。

函数f(x)在x0连续，当且仅当f(x)满足f(x)在x0及其左右近旁有定义；f(x)在x0的极限存在；f(x)在x0的极限值与函数值f(x0)相等。

连续函数的性质：

闭区间上的连续函数在该区间上一定有界，所谓有界是指，存在一个正数M，使得对于任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。

证明：利用致密性定理：有界的数列必有收敛子数列。反证法，假设f(x)在[a,b]上无上界，则对任意正数M，都存在一个x'∈[a,b]，使f(x')>M。

特别地，对于任意正整数n，都存在一个xn∈[a,b]，使f(xn)>n。