Question

∫e^(-x^2)dx=什么？

Answer 1

原式=∫e^(-x^2)dx

=∫∫e^(-x^2-y^2) dxdy

=∫∫e^(-r^2) rdrdα

=(∫e^(-r^2) rdr)*(∫dα)

=π*∫e^(-r^2) dr^2

=π*(1-e^(-r^2) |r->+∝

=π

∵ ∫∫e^(-x^2-y^2) dxdy

=(∫e^(-x^2)dx)*(∫e^(-y^2)dy)

=(∫e^(-x^2)dx)^2

∴∫e^(-x^2)dx=√π

根据牛顿－莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

不定积分 ∫e^(-x^2)dx 不能用初等函数表示。
定积分 ∫<-∞, +∞>e^(-x^2)dx = √π