Question

已知y=x是3阶方程 (1-x)y'''-xy''+y'=0 的一个特解,求方程的通解

Answer 1

解:微分方程为(1-x)y"'-xy"+y'=0，设y'=u，微分方程化为(1-x)u"-xu'+u=0，此时微分方程的特解有y=x，再设微分方程的通解为y=xv，将通解代入微分方程中，有

(1-x)(xv)"-x(xv)'+xv=0，(1-x)(xv"+2v')-x(v+xv')+xv=0，(1-x)xv"+(2-2x-x²)v'=0，

-v"/v'=(x²+2x-2)/(x²-x)，-v"/v'=(x²-x)/(x²-x)+(3x-3)/(x²-x)+1/(x²-x)，-v"/v'=1+3/x+1/(x-1)-1/x，-v"/v'=1+2/x+1/(x-1)，-ln|v'|=

x+lnx²+ln|x-1|-ln|c|(c为任意非零常数)，v'=c/[x²(x-1)eˣ]，v'=ce⁻ˣ[1/(x-1)-(x+1)/x²]，v=c∫e⁻ˣ[1/(x-1)-(x+1)/x²]dx+a(a为任意常数)，则微分方程的通解为y=c∫[x∫e⁻ˣ[1/(x-1)-(x+1)/x²]dx]dx+0.5ax²+b(b为任意常数)

用微分方程求解泛函

请参考