Question

∫x^2e^(2x-e^(x))dx从负无穷到ξ（一个参数）的反常积分的解析式怎么求？

ξ只是积分上限的一个参数，解析式里应该会涉及指数积分Ei（x）和欧拉-马斯克若尼常数γ≈0.577216

Answer 1

对于函数f(x) = x^2 e^(2x-e^x)，要求从负无穷到ξ的反常积分，其中ξ是积分上限的一个参数。
我们可以先对f(x)进行求导，得到f'(x) = 2xe^(2x-e^x) + x^2e^(2x-e^x-e^x) = e^(2x-e^x)(2x+x^2-e^x)
令g(x) = e^(2x-e^x)，则f'(x) = g(x)(2x+x^2-e^x)，进一步有f''(x) = g'(x)(2x+x^2-e^x) + g(x)(2+x^2-e^x-e^x)
因为e^(2x-e^x)在x趋近于负无穷时趋近于0，因此g(x)在x趋近于负无穷时也趋近于0。此外，当x趋近于负无穷时，e^x的数量级要小于任何正数，因此2x和x^2的数量级都要小于e^x，因此2x+x^2-e^x的数量级也是小于e^x的。综合起来，我们可以得到当x趋近于负无穷时，f''(x)的数量级也是小于e^x的。
因此，我们可以使用瑕积分的求解方法，将积分从负无穷到ξ拆成积分从负无穷到0和积分从0到ξ。对于积分从负无穷到0，我们可以使用换元积分法，令t = -x，得到
∫(-∞)^0 x^2 e^(2x-e^x) dx = -∫0^∞ (-t)^2 e^(2(-t)-e^(-t)) dt = ∫0^∞ t^2 e^(2t-e^t) dt
对于积分从0到ξ，我们可以使用部分积分法，令u = x，dv = e^(2x-e^x) dx，得到du = dx，v = -e^(2x-e^x)，于是有
∫0^ξ x^2 e^(2x-e^x) dx = -x^2e^(2x-e^x)|0^ξ + 2∫0^ξ xe^(2x-e^x) dx - ∫0^ξ e^(2x-e^x) dx
将积分区间代入得到
∫(-∞)^ξ x^2 e^(2x-e^x) dx = ∫0^∞ t^2 e^(2t-e^t) dt - ξ^2e^(2ξ-e^ξ) - 2ξe^(2ξ-e^ξ) + 2
下面我们只需要考虑如何求出∫0^∞ xe^(2x-e^x) dx 和∫0^∞ e^(2x-e^x) dx 的解析式即可。对于后者，我们可以使用
特殊函数的性质来进行求解。在这里，积分中的指数函数 e^(2x - e^x) 可以被看作是 Ei 函数的导函数，因此可以尝试使用 Ei 函数来求解。
具体地，可以进行如下的代数变换：
x^2 e^(2x - e^x) = - d/dx (x^2 e^(2x)) + 2x e^(2x)
将其代入原式，得到：
∫x^2e^(2x-e^x)dx = [-x^2e^(2x) + 2∫xe^(2x)dx] + C
其中，C 为积分常数。对于 ∫xe^(2x)dx 这一项，可以再次进行分部积分，得到：
∫xe^(2x)dx = (1/2)xe^(2x) - (1/2)∫e^(2x)dx
= (1/2)xe^(2x) - (1/4)e^(2x) + C'
将其代入原式，得到：
∫x^2e^(2x-e^x)dx = [-x^2e^(2x) + x/2 e^(2x) - 1/4 e^(2x)] + C
将积分上限 ξ 代入上式，即可得到该反常积分的解析式。