Question

设x1=1/2,Xn+1(1+Xn)=1,证明数列xn收敛并求其极限

Answer 1

先，我们可以使用归纳法证明此数列是单调递减的。我们假设x_n >= x_{n+1} 对于所有n成立，然后来证明x_{n+1} >= x_{n+2}。根据题意，我们有：
x_{n+1}(1 + x_n) = 1
x_{n+2}(1 + x_{n+1}) = 1
将第一个等式中的x_{n+1}代入第二个等式，我们得到：
x_{n+2}(1 + x_{n+1}) = 1
x_{n+2}(1 + x_n(1 + x_{n+1})) = 1
x_{n+2} = \frac{1}{1 + x_n(1 + x_{n+1})}
接下来，我们将假设x_n >= x_{n+1}代入上式中，得到：
x_{n+2} = \frac{1}{1 + x_n(1 + x_{n+1})} <= \frac{1}{1 + x_n(1 + x_n)} = x_{n+1}
因此，数列x_n单调递减。由于x_n大于0，因此该数列有一个下界0。根据单调递减数列的单调有界定理，该数列收敛。假设该数列的极限为L，那么当n趋向于无穷大时，x_n会趋向于L，同时x_{n+1}也会趋向于L。将其代入给定的递推式中，我们有：
L(1 + L) = 1
L² + L - 1 = 0
解这个二次方程，我们得到L = (-1 + sqrt(5))/2或L = (-1 - sqrt(5))/2。由于x_n大于0，因此L必须为正数，因此我们有L = (-1 + sqrt(5))/2。因此，该数列的极限为phi（黄金分割率），约为1.618。