Question

如何理解多元函数的微分和全微分？

Answer 1

全增量： 
设函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点 P(x,y)P(x,y)的某邻域内有定义，则有P2(x+Δx,y+Δy)P2(x+Δx,y+Δy)为邻域内一点，P与P2P与P2的函数值之差称为函数在点 PP 对应于自变量增量 Δx、ΔyΔx、Δy 的全增量，记做 ΔzΔz：

Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)

全微分：

充分条件： 
如果函数z=f(x,y)z=f(x,y)的偏导数∂z∂x、∂z∂y∂z∂x、∂z∂y在点(x,y)(x,y)连续，那么该函数在该点可微分。 
**(连续：多元函数的偏导数在一点连续是指：偏导数在该点的某个邻域内存在，于是偏导数在这个邻域内有定义，且这个函数求偏导后是连续的，则称函数在某点连续)

必要条件： 
如果函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点x,yx,y可微分，那么该函数在点(x,y)(x,y)的偏导数∂z∂x与∂z∂y∂z∂x与∂z∂y必定存在，且函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点(x,y)(x,y)的全微分等于它的所有偏微分之和：

dz=∂z∂xΔx+∂z∂yΔy=∂z∂xdx+∂z∂ydy

拓展资料

全微分

如果函数z=f(x, y) 在(x, y)处的 全增量 Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y) 可以表示为 Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)， 其中A、B不依赖于Δx, Δy，仅与x,y有关，ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2])，此时称函数z=f(x, y)在点（x，y）处 可微分，AΔx+BΔy称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处的 全微分，记为dz即 dz=AΔx +BΔy 该表达式称为函数z=f(x, y) 在(x, y)处(关于Δx, Δy)的全微分。

定义

函数z=f(x, y) 的两个偏导数f'x(x, y), f'y(x, y)分别与自变量的增量Δx, Δy乘积之和

f x(x,y)Δx+f y(x,y)Δy或f'x(x, y)Δx + f'y(x, y)Δy

若该表达式与函数的全增量Δz之差，

是当ρ→0时的高阶无穷小（那么该表达式称为函数z=f(x, y) 在(x, y)处(关于Δx, Δy)的全微分。

定理1如果函数z=f（x，y）在点p0（x0，y0）处可微，则z=f（x，y）在p0（x0，y0)处连续，且各个偏导数存在，并且有

f′x（x0，y0）=A，f′y（x0，y0）=B。

定理2若函数z=f（x，y）在点p0（x0，y0）处的偏导数f′x，f′y连续，则函数f在点p0处可微。

基本内容

设函数z=f（x,y）在点P（x,y）的某邻域内有定义，P‘（x+△x，y+△y）为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差

f（x+△x，y+△y）- f（x，y）为函数在点P对应自变量△x，△y的全增量，记作△z。