小学五年级数学：分数除法
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师：你知道画面上的人是谁吗？一起说！
生：（齐）屈原！
师：对，他就是我国伟大爱国诗人屈原，屈原的故乡就在咱们……
生：（齐）秭归！
师：我还知道秭归有个美誉，它被称为中国脐橙之乡，秭归的脐橙个个果大味甜，每个脐橙的重量可达200g左右。老师想问问大家了，每个脐橙约重200g，3个有多重？
生：200×3＝600（g）
师：每个脐橙约重200g，3个约重600g。小精灵也想问问大家了，根据这个问题的数量关系，怎样将它改编成用除法计算的问题呢？
生：3个脐橙有600g，每个约重200g，请问一个有多重？
师：你想提一个什么数学问题呢？
生：3个脐橙有600g，每个有多重？
师：（板书问题）怎样解决这个问题呢？
生：用总重量600g除以每个的重量200g等于3个。
师：咱们先来解决黑板上的这个问题，好吗？来，旁边的同学帮帮他！
生：用总重量600g除以脐橙的总数3个，等于200g。
师：你直接说算式可以吗？
生：600÷3＝200（g）
师：还可以怎样改编用除法计算的问题呢？
生：3个脐橙的重量约600g，每个重200g，问有多少个脐橙？
师：同不同意他的说法？你来说说看？
生：有一些脐橙，它的总重量有600g，知道每个脐橙约200g，问有多少个脐橙？
师：可以吗？
生：（齐）可以！
师：老师把她的问题稍稍提炼了一下，每个脐橙约200g，几个约重600g？（板书问题）怎样算呢？
生：600÷200＝3（个）
师：非常好！在咱们刚才的这几个问题里，脐橙的重量我们用克来作单位，如果用千克来作单位，200g又可以看作是多少呢？请你说！
生：200g等于0.2kg。
师：用分数表示又是多少呢？
生：0.2千克等于15kg。
师：好的，那每个脐橙的重量约是15kg（板书），那刚才的乘法算式又可以怎样写呢？
生：15×3＝35（kg）
师：那下面两个除法算式又可以怎样改写呢？
生：3个脐橙约重35kg，每个有多重？
师：直接说算式可以吗？
生：15除以3等于15。
师：别着急！
生：35÷3=15（kg）
师：下面的除法算式又可以怎样写呢？
生：35÷15=3（个）
师：看一看咱们改写的这三个算式，上面一个是我们已经学过的分数乘法算式，下面两个是……
生：（齐）分数除法。
师：那今天这节课我们就一起来研究分数除法问题。（板书课题）
师：仔细观察黑板上的这两组算式，你发现了什么？
生：已知3个脐橙的总重量和其中一个因数，求另一个因数的运算。
师：你的意思是你观察左边的三个整数算式，是吗？谁来帮他说得更清楚些？
师：你们看，黑板上的这两组算式，左边都是……
生：（齐）整数的算式。
师：右边都是……
生：（齐）分数的算式。
师：那接着再来观察，（指着整数的算式）下面的两个除法算式同上面的乘法算式有怎样的关系呢？大胆说说吧！
生：下面除法算式的600g是上面乘法算式的积，3和200是上面的两个因数，已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数用除法计算。
师：她说到了咱们学过的整数除法的意义，那整数除法是这样的，分数除法又是怎样的呢？
生：整数除法的意义同分数除法意义相同。
师：是这样的吗？还有谁想说说？
生：整数除法的意义同分数除法意义相同。
师：非常好，同学们观察得非常仔细，也很会动脑筋，其实分数除法的意义同整数除法意义相同，都是已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。那下面我们一起来看看做一做！
师：根据乘法算式直接写出除法算式的得数。谁先来说？
生：821÷47=23
师：谁接着说？
生：821÷23=47
师：对吗？
生：（齐）对！
师：谁来告诉大家，你是怎么这么快就知道结果呢？
生：我知道了两个因数的积是821，积除以一个因数就得到另一个因数。
师：你们也是这样想的吗？真好！今天希望小学的小伙伴们正在为秭归脐橙设计包装纸呢，瞧，第一组的设计师们正遇到了问题。（课件出示问题：我们将一张长方形纸的45平均分成两份，在其中一份画上了同学们设计的秭归脐橙图标，你知道这一份是这张包装纸的几分之几吗？）
师：谁能用简洁的语言来说说这个问题？
生：一张长方形纸的45，把它平均分成两份，求一份占这张包装纸的几分之几？
师：同意吗？
生：（齐）同意。
师：怎样列式呢？
生：45÷2=25
师：哦，你已经计算出结果了！（板书算式）同意他算的这个结果吗？
生：（齐）同意。
师：你们都认为是25，那25是怎样算出来的？老师请四人小组的同学利用我们学过的知识或方法来进行实验，也可以借助手中的材料，注意实验时记下各自不同的算法。小组活动开始！
生小组活动，师巡视辅导。
师：哪个小组先来汇报？到前面来！
生：先把这张纸平均分成5份，找出这样的4份，把空白的一份折起来，然后把这4份对折，对折之后再摊开，这样的2份就是25。
师：这样的2份是？
生：这样的1份是25。
师：你怎么不把这一份用颜色标出来？这样我们就看得更清楚些。哪个小组和他们的想法一样，并且又涂了颜色的？请你说！
生：我的想法和他们不一样。
师：你是怎么想的？
生：把这张纸平均分成5份，45就是其中的4份，把4个15平均分成2份，每份是2个15，也就是25。
师：其实你的想法同他们是一样的，只不过他们没有涂颜色，我们不能看得更明了些。老师把你们的想法再演示一遍，好吗？（课件演示）
师：把咱们这么好的想法用算式表示出来吧：45÷2=25，这里的2是怎么算出来的？（板书算式）把4个15平均分成2份，每份是2个15，也就是25。
师：其他组还有没有别的想法？
生：把15折到后面，再把45横着对折，用红色的彩笔涂出其中一份。
师：我想问问你了，涂色的部分是45的多少呢？
生：（齐）12。
师：那是这整张纸的多少呢？
生：25。
师：老师也把这种想法演示给大家看看吧，（课件演示）多好的想法！我们把这种想法也用算式表示出来，把45平均分成2份，每份是45的……
生：12。
师：求45的12可以怎样算？
生：45×12
师：还有谁想说？
生：45×12
师：那45÷12我们也可以这样算（板书）45×12=25。还有别的算法吗？
师：看看这两种算法，：一种是将4个15平均分成2份，每份是2个15，也就是25；第二种是把45平均分成2份，每份是45的12。最后的结果都是25，这里的两种算法都挺好。同学们就是聪明，自己动手折一折、算一算就帮助小设计师们解决了问题。看，这就是设计的图标（课件演示），占整张包装纸的……
生：（齐）25。
师：第二小组的同学们也想问问大家了：如果把这张纸的45平均分成3份，每份是这张纸的几分之几？
生独立思考。
师：已经有同学想试试了，那就请同学们选择自己喜欢的方法试着写出算式，算出结果，再想办法验证，最后把你的想法在小组内说说。
生小组活动。
师：已经有同学举手了，想把自己的想法同大家分享一下，请你说！
生拿出折纸。
师：先来说说你是怎么算的？
生：用45乘13等于415。
师：我们把45平均分成3份，也就是45×13，可不可以这样理解？
生：（齐）可以。
师：那把45平均分成3份，还可以怎样列式呢？
生：（齐）45÷3
师：（板书）45÷3=45×13=415。这是你的算式，下面你说说你是怎么验证你的结果的？
生：我把这张纸的45平均分成3份，在其中的一份涂上颜色，再把这张纸摊开，涂色的是这张纸的415。
师：说的真好，还有哪个同学想说？
生：我和他想得一样，我把这张纸对折两次。
师：对折两次？是吗？是三折，把它平均分成3份，对吧？请接着说！
生：把这张纸的45平均分成3份，在其中的一份涂上颜色，涂色的是45的13。
师：那是整张纸的多少？通过折纸能看出来吗？
生：（齐）415。
师：谢谢你，我们再来看看这两个同学的想法。（课件演示）
师：你们是这样想的吗？还有别的想法吗？
生：他们都是竖着折的，我是横着折的。
师：哦，你折纸的方向不一样，那通过你的折纸能直接看出结果吗？
生：不能。
师：那你是怎样知道这一份占这张纸的几分之几呢？
生：我是用算式算出来的。
师：我明白了，你的意思是把45平均分成3份，其中一份就是45的13，然后你就算出是415。老师把你的想法给大家演示一下（课件演示）
师：你还想说？
生：还可以把45化成1215，1215除以3得出415。
师：听明白他的想法了吗？你为什么要将45化成1215呢？
师：因为45的4除以3不能除整。
师：哦，因为45的4不是3的倍数，所以我们这样竖着折以后不能直接看出结果，于是你想到了这样一个好方法，把45化成1215，那你的意思就是将每一个15又来平均分成……
生：3份。
师：这样整张纸平均分成了15份，原来的45也就是1215。
师：从刚才的计算中，我看到大家都选择了这样一种算法，你们为什么不选择第一种方法，试过吗？
生：因为4除以3不能得出整数的结果。
师：这种方法算起来比较麻烦，所以同学们都选择了第二种方法，真是一个聪明的选择！
师：老师再来考考大家了，如果把这张纸的45平均分成5份，每份是这张纸的几分之几？
平均分成6份呢？你会算吗？
生：（齐）会。
师：直接在草稿本上写算式。
生独立完成。
师：好，请你说！
生：45乘15
师：通常情况下，我们把一个数平均分成几份，求每份是多少，我们用……
生：（齐）除法计算。
师：那算式还可以怎样写？
生：45÷5=425
师：怎么算的？能把你的想法再说具体点吗？
生：45÷5=45×15=425
师：好的，如果把这张纸的45平均分成6份，每份又是这张纸的几分之几呢？
生：45÷6=45×16=215
师：通过上面的折纸实验和算式，你能发现关于分数除法的什么规律吗？
生：45除以一个数，就是45乘它的倒数。
师：还有谁想说？
生：除数除以被除数，就是除数乘被除数的倒数。
师：除数除以被除数？应该怎么说？
生：（齐）被除数除以除数。
师：而且我们今天的被除数都是？
生：（齐）分数。
师：除数呢？
生：（齐）整数。
师：那分数除以整数，我们一般可以怎么算？
生：用分数的分子除以整数。
师：对，有时可以用分数的分子除以整数，用它除得的商作分子，分母不变，还可以怎样算呢？
生：用分数乘整数的倒数。
师：那这两种方法哪种方法更具普遍性呢？
生：用分数乘整数的倒数。
师：对，把一个分数平均分成几份，每份就是它的几分之一，一道除法问题就被转化为我们学过的乘法问题，而且这里乘的是除数的倒数，这种转化的方法可真好！那就用我们发现的规律计算下面各题吧！
生独立完成做一做后，全班集体订正。
师：同学们，你们知道吗？今天这节课我们的研究和发现同许多年前的数学家们有着惊人的相似，想看看吗？
生：（齐）想
（课件出示数学小知识）
师：听到这些，想说的什么吗？
生：我国古代的数学家真聪明！
师：你们也是这样想的吗？老师和你们一样，我也为我国古代的数学家感到骄傲，但今天，我更为你们这群聪明能干的同学们感到自豪，所以我为了不起的你们留了一个小问题：分数除以整数，我们用分数乘整数的倒数。而刘徽注释《九章算术》时说:分数除法就是将除数的分子、分母颠倒与被除数相乘。这又是什么意思呢？这个问题留给我们在后面的学习中继续探究。下课。
生：（齐）屈原！
师：对，他就是我国伟大爱国诗人屈原，屈原的故乡就在咱们……
生：（齐）秭归！
师：我还知道秭归有个美誉，它被称为中国脐橙之乡，秭归的脐橙个个果大味甜，每个脐橙的重量可达200g左右。老师想问问大家了，每个脐橙约重200g，3个有多重？
生：200×3＝600（g）
师：每个脐橙约重200g，3个约重600g。小精灵也想问问大家了，根据这个问题的数量关系，怎样将它改编成用除法计算的问题呢？
生：3个脐橙有600g，每个约重200g，请问一个有多重？
师：你想提一个什么数学问题呢？
生：3个脐橙有600g，每个有多重？
师：（板书问题）怎样解决这个问题呢？
生：用总重量600g除以每个的重量200g等于3个。
师：咱们先来解决黑板上的这个问题，好吗？来，旁边的同学帮帮他！
生：用总重量600g除以脐橙的总数3个，等于200g。
师：你直接说算式可以吗？
生：600÷3＝200（g）
师：还可以怎样改编用除法计算的问题呢？
生：3个脐橙的重量约600g，每个重200g，问有多少个脐橙？
师：同不同意他的说法？你来说说看？
生：有一些脐橙，它的总重量有600g，知道每个脐橙约200g，问有多少个脐橙？
师：可以吗？
生：（齐）可以！
师：老师把她的问题稍稍提炼了一下，每个脐橙约200g，几个约重600g？（板书问题）怎样算呢？
生：600÷200＝3（个）
师：非常好！在咱们刚才的这几个问题里，脐橙的重量我们用克来作单位，如果用千克来作单位，200g又可以看作是多少呢？请你说！
生：200g等于0.2kg。
师：用分数表示又是多少呢？
生：0.2千克等于15kg。
师：好的，那每个脐橙的重量约是15kg（板书），那刚才的乘法算式又可以怎样写呢？
生：15×3＝35（kg）
师：那下面两个除法算式又可以怎样改写呢？
生：3个脐橙约重35kg，每个有多重？
师：直接说算式可以吗？
生：15除以3等于15。
师：别着急！
生：35÷3=15（kg）
师：下面的除法算式又可以怎样写呢？
生：35÷15=3（个）
师：看一看咱们改写的这三个算式，上面一个是我们已经学过的分数乘法算式，下面两个是……
生：（齐）分数除法。
师：那今天这节课我们就一起来研究分数除法问题。（板书课题）
师：仔细观察黑板上的这两组算式，你发现了什么？
生：已知3个脐橙的总重量和其中一个因数，求另一个因数的运算。
师：你的意思是你观察左边的三个整数算式，是吗？谁来帮他说得更清楚些？
师：你们看，黑板上的这两组算式，左边都是……
生：（齐）整数的算式。
师：右边都是……
生：（齐）分数的算式。
师：那接着再来观察，（指着整数的算式）下面的两个除法算式同上面的乘法算式有怎样的关系呢？大胆说说吧！
生：下面除法算式的600g是上面乘法算式的积，3和200是上面的两个因数，已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数用除法计算。
师：她说到了咱们学过的整数除法的意义，那整数除法是这样的，分数除法又是怎样的呢？
生：整数除法的意义同分数除法意义相同。
师：是这样的吗？还有谁想说说？
生：整数除法的意义同分数除法意义相同。
师：非常好，同学们观察得非常仔细，也很会动脑筋，其实分数除法的意义同整数除法意义相同，都是已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。那下面我们一起来看看做一做！
师：根据乘法算式直接写出除法算式的得数。谁先来说？
生：821÷47=23
师：谁接着说？
生：821÷23=47
师：对吗？
生：（齐）对！
师：谁来告诉大家，你是怎么这么快就知道结果呢？
生：我知道了两个因数的积是821，积除以一个因数就得到另一个因数。
师：你们也是这样想的吗？真好！今天希望小学的小伙伴们正在为秭归脐橙设计包装纸呢，瞧，第一组的设计师们正遇到了问题。（课件出示问题：我们将一张长方形纸的45平均分成两份，在其中一份画上了同学们设计的秭归脐橙图标，你知道这一份是这张包装纸的几分之几吗？）
师：谁能用简洁的语言来说说这个问题？
生：一张长方形纸的45，把它平均分成两份，求一份占这张包装纸的几分之几？
师：同意吗？
生：（齐）同意。
师：怎样列式呢？
生：45÷2=25
师：哦，你已经计算出结果了！（板书算式）同意他算的这个结果吗？
生：（齐）同意。
师：你们都认为是25，那25是怎样算出来的？老师请四人小组的同学利用我们学过的知识或方法来进行实验，也可以借助手中的材料，注意实验时记下各自不同的算法。小组活动开始！
生小组活动，师巡视辅导。
师：哪个小组先来汇报？到前面来！
生：先把这张纸平均分成5份，找出这样的4份，把空白的一份折起来，然后把这4份对折，对折之后再摊开，这样的2份就是25。
师：这样的2份是？
生：这样的1份是25。
师：你怎么不把这一份用颜色标出来？这样我们就看得更清楚些。哪个小组和他们的想法一样，并且又涂了颜色的？请你说！
生：我的想法和他们不一样。
师：你是怎么想的？
生：把这张纸平均分成5份，45就是其中的4份，把4个15平均分成2份，每份是2个15，也就是25。
师：其实你的想法同他们是一样的，只不过他们没有涂颜色，我们不能看得更明了些。老师把你们的想法再演示一遍，好吗？（课件演示）
师：把咱们这么好的想法用算式表示出来吧：45÷2=25，这里的2是怎么算出来的？（板书算式）把4个15平均分成2份，每份是2个15，也就是25。
师：其他组还有没有别的想法？
生：把15折到后面，再把45横着对折，用红色的彩笔涂出其中一份。
师：我想问问你了，涂色的部分是45的多少呢？
生：（齐）12。
师：那是这整张纸的多少呢？
生：25。
师：老师也把这种想法演示给大家看看吧，（课件演示）多好的想法！我们把这种想法也用算式表示出来，把45平均分成2份，每份是45的……
生：12。
师：求45的12可以怎样算？
生：45×12
师：还有谁想说？
生：45×12
师：那45÷12我们也可以这样算（板书）45×12=25。还有别的算法吗？
师：看看这两种算法，：一种是将4个15平均分成2份，每份是2个15，也就是25；第二种是把45平均分成2份，每份是45的12。最后的结果都是25，这里的两种算法都挺好。同学们就是聪明，自己动手折一折、算一算就帮助小设计师们解决了问题。看，这就是设计的图标（课件演示），占整张包装纸的……
生：（齐）25。
师：第二小组的同学们也想问问大家了：如果把这张纸的45平均分成3份，每份是这张纸的几分之几？
生独立思考。
师：已经有同学想试试了，那就请同学们选择自己喜欢的方法试着写出算式，算出结果，再想办法验证，最后把你的想法在小组内说说。
生小组活动。
师：已经有同学举手了，想把自己的想法同大家分享一下，请你说！
生拿出折纸。
师：先来说说你是怎么算的？
生：用45乘13等于415。
师：我们把45平均分成3份，也就是45×13，可不可以这样理解？
生：（齐）可以。
师：那把45平均分成3份，还可以怎样列式呢？
生：（齐）45÷3
师：（板书）45÷3=45×13=415。这是你的算式，下面你说说你是怎么验证你的结果的？
生：我把这张纸的45平均分成3份，在其中的一份涂上颜色，再把这张纸摊开，涂色的是这张纸的415。
师：说的真好，还有哪个同学想说？
生：我和他想得一样，我把这张纸对折两次。
师：对折两次？是吗？是三折，把它平均分成3份，对吧？请接着说！
生：把这张纸的45平均分成3份，在其中的一份涂上颜色，涂色的是45的13。
师：那是整张纸的多少？通过折纸能看出来吗？
生：（齐）415。
师：谢谢你，我们再来看看这两个同学的想法。（课件演示）
师：你们是这样想的吗？还有别的想法吗？
生：他们都是竖着折的，我是横着折的。
师：哦，你折纸的方向不一样，那通过你的折纸能直接看出结果吗？
生：不能。
师：那你是怎样知道这一份占这张纸的几分之几呢？
生：我是用算式算出来的。
师：我明白了，你的意思是把45平均分成3份，其中一份就是45的13，然后你就算出是415。老师把你的想法给大家演示一下（课件演示）
师：你还想说？
生：还可以把45化成1215，1215除以3得出415。
师：听明白他的想法了吗？你为什么要将45化成1215呢？
师：因为45的4除以3不能除整。
师：哦，因为45的4不是3的倍数，所以我们这样竖着折以后不能直接看出结果，于是你想到了这样一个好方法，把45化成1215，那你的意思就是将每一个15又来平均分成……
生：3份。
师：这样整张纸平均分成了15份，原来的45也就是1215。
师：从刚才的计算中，我看到大家都选择了这样一种算法，你们为什么不选择第一种方法，试过吗？
生：因为4除以3不能得出整数的结果。
师：这种方法算起来比较麻烦，所以同学们都选择了第二种方法，真是一个聪明的选择！
师：老师再来考考大家了，如果把这张纸的45平均分成5份，每份是这张纸的几分之几？
平均分成6份呢？你会算吗？
生：（齐）会。
师：直接在草稿本上写算式。
生独立完成。
师：好，请你说！
生：45乘15
师：通常情况下，我们把一个数平均分成几份，求每份是多少，我们用……
生：（齐）除法计算。
师：那算式还可以怎样写？
生：45÷5=425
师：怎么算的？能把你的想法再说具体点吗？
生：45÷5=45×15=425
师：好的，如果把这张纸的45平均分成6份，每份又是这张纸的几分之几呢？
生：45÷6=45×16=215
师：通过上面的折纸实验和算式，你能发现关于分数除法的什么规律吗？
生：45除以一个数，就是45乘它的倒数。
师：还有谁想说？
生：除数除以被除数，就是除数乘被除数的倒数。
师：除数除以被除数？应该怎么说？
生：（齐）被除数除以除数。
师：而且我们今天的被除数都是？
生：（齐）分数。
师：除数呢？
生：（齐）整数。
师：那分数除以整数，我们一般可以怎么算？
生：用分数的分子除以整数。
师：对，有时可以用分数的分子除以整数，用它除得的商作分子，分母不变，还可以怎样算呢？
生：用分数乘整数的倒数。
师：那这两种方法哪种方法更具普遍性呢？
生：用分数乘整数的倒数。
师：对，把一个分数平均分成几份，每份就是它的几分之一，一道除法问题就被转化为我们学过的乘法问题，而且这里乘的是除数的倒数，这种转化的方法可真好！那就用我们发现的规律计算下面各题吧！
生独立完成做一做后，全班集体订正。
师：同学们，你们知道吗？今天这节课我们的研究和发现同许多年前的数学家们有着惊人的相似，想看看吗？
生：（齐）想
（课件出示数学小知识）
师：听到这些，想说的什么吗？
生：我国古代的数学家真聪明！
师：你们也是这样想的吗？老师和你们一样，我也为我国古代的数学家感到骄傲，但今天，我更为你们这群聪明能干的同学们感到自豪，所以我为了不起的你们留了一个小问题：分数除以整数，我们用分数乘整数的倒数。而刘徽注释《九章算术》时说:分数除法就是将除数的分子、分母颠倒与被除数相乘。这又是什么意思呢？这个问题留给我们在后面的学习中继续探究。下课。
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