常微分方程的基本概念
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(本笔记使用的书是丁同仁和李承治的《常微分方程教程》)
学习常微分方程之前,首先说明几个很常见的概念. 微分方程 指含有函数 和函数导数 的方程.如果未知函数是单变量函数,那么称之为 常微分方程(ODE) ;如果未知函数是多元函数,那么称之为 偏微分方程(PDE) .对于一个常微分方程,如果出现的最高求导次数项为 ,则称该方程为 阶 的;如果出现的最高次幂项为k次幂项,则称该方程为 次 的.
实际上我们研究的主要问题就是ODE解的存在性和求解问题,
至于为什么一个微分方程的通解有 个任意常数,我们暂时无法解决,但一个含有 个任意常数的函数是否对应一个n阶微分方程的解呢?
如果通解的常数都固定下来,那么就称此时的 为一个 特解 .固定任意常数的方法可以是给出的各阶导数的函数值,这样的问题我们成为 初值问题 ,也称作 .初值条件的一般形式是 实际上我们可以在初值条件 的一个邻域内类似 Ex 1 地确定通解中的所有任意常数.
以一阶微分方程为例
设它的通解是 ,显然对于I内的一个点即使我们不知道 的表达式我们仍然知道在这一点处 的斜率是 ,我们称经过 斜率为f(x_0,y_0)的一条 小线段 为在 的 线素 ,记作 ,I及其上所有线素称作 线素场 .无论 是确定值还是无穷大,我们都能得到确定的线素,如果 点的值是不定式,那么我们称这点为线素场的 奇异点 .
为了作出微分方程的线素场,我们常常用 来近似作图,这条曲线上所有线素的斜率相同,因此这条曲线被称为线素场的 等斜线 .
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