Question

泰勒公式

Answer 1

泰勒公式的余项R _n (x)可以写成以下几种不同的形式：

1、佩亚诺(Peano）余项：

这里只需要n阶导数存在

2、施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche）余项：

其中θ∈(0,1)，p为任意正实数。（注意到p=n+1与p=1分别对应拉格朗日余项与柯西余项） ^[2]

3、拉格朗日（Lagrange）余项：

其中θ∈(0,1)。

4、柯西（Cauchy）余项：

其中θ∈(0,1)。

5、积分余项：

其中以上诸多余项事实上很多是等价的。

泰勒展开式的重要性体现在以下五个方面 ：