Question

全概率与贝叶斯公式

Answer 1

定理:设试验E的样本空间为S,A为E的事件，B ₁ ,B ₂ ,…,B _n ,为S的一个划分，且P(B _i )>0(i=1,2,….,)，
则P(A)=P(B ₁ )·P(A|B ₁ ) +P(B ₂ )·P(A|B ₂ )+…+P(B _n )·P(A|B _n )=

定理:设E的样本空间为S，A为E的事件，B ₁ ,B ₂ ,,…B _n 为S的一个划分，且P(A)>0,P(B _i )>0 (i=1,2,…,n)，则
其中将A看成结果，将B看成导致结果A的原因

例：某电子设备制造厂使用的元件是由三家工厂提供的，根据以往的记录有如下数据。

设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志.
(1)在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率;
(2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，求此次品由三家工厂生产的概率分别是多少?

由于乐器被接收要求测试中音色都纯，因此四种情况下，都应该被检测纯正。已知音色纯被测试纯的概率是0.99，而音色不纯被检测成纯的概率是0.05。由于测试的结果之间相互独立，即P(AB)=P(A)×P(B)。
因此随机抽取3件乐器情况的概率为：

因此通过全概率公式可得：乐器被接收的概率P(A)为
+ + +

2、甲, 乙两人进行乒乓球比赛, 每局甲胜的概率为p,p≥1/2. 问对甲而言,采用三局二胜制有利, 还是采用五局三胜制有利?
解：
若采用三局两胜制，若甲胜，则有三种情况

因此采用三局两胜制，甲获胜的概率为：                       
若采用五局三胜制，若甲胜，则有三种情况

因此采用五局三胜制，甲获胜的概率为：
       
如此，若问采用哪种制度更有利，就是比较p ₁ 和p ₂ 大小。

                
                
当p> 时， ，五局三胜对甲更有利。
当p= 时， ，两人获胜概率相同。