重心坐标公式是什么?
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公式是:OG=1/3OA+2/3OD=1/3(OA+OB+OC)。
重心坐标公式的证明:若三角形三顶点坐标为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),证明此三角形重心的坐标为(x1+x2+x3/3,y1+y2+y3/3)。
记原点为O,三角形三顶点依次为A,B,C,G为重心,D为BC中点,于是OD=1/2(OB+OC)(全是向量,下同),然后知道AG=2GD,所以OG=1/3OA+2/3OD=1/3(OA+OB+OC),这样就得到了坐标公式。
重心坐标的计算方法:
摆线质量均匀,所以线密度为常数,设为ρ:
弧微分ds=2|sin(t/2)|dt,由弧长s=4得摆线只有半拱(0≤t≤π)。
摆线的质量m=4ρ。
摆线关于x轴的静力矩mx=ρ∫yds=ρ∫(0~π)(1-cost)×2sin(t/2)dt=16ρ/3。
摆线关于y轴的静力矩my=ρ∫xds=ρ∫(0~π)(t-sint)×2sin(t/2)dt=16ρ/3。
重心的坐标是:x=mx/m=4/3,y=my/m=4/3。
所以,重心坐标是(4/3,4/3)。
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