Question

15微分方程方程 y''+y'-2y=xsinx 的特解形式上可设为()(6.2分)A y=(Ax？

Answer 1

设特解为 y_p(x) = A x \cos(x) + B x \sin(x)，其中 A 和 B 是待定系数。
将特解 y_p(x) 代入原方程，可得：
y''_p + y'_p - 2y_p = (A \cos(x) - Ax \sin(x)) + (B \sin(x) + Bx \cos(x)) - 2(Ax\cos(x) + Bx\sin(x))
化简后可得：
y''_p + y'_p - 2y_p = (2B - 2A) x \sin(x)
为了使得 y_p(x) 是原方程的一个特解，我们需要有：
(2B - 2A) x \sin(x) = x \sin(x)
解得 A = 1/2 和 B = 1/2，因此特解为：
y_p(x) = \frac{x}{2}(\cos(x) + \sin(x))
因此，原方程的通解为：
y(x) = c_1 e^x + c_2 e^{-2x} + \frac{x}{2}(\cos(x) + \sin(x))
其中 c_1 和 c_2 是待定常数。