Question

计算下列行列式？

Answer 1

记这数差个冲族行列式为Dn.
D1=5,D2=5*5-2*3=19,
D3=
5 2 0
3 5 2
0 3 5
=5D2-2*3*D1=65,
D4=
5 2 0 0

3 5 2 0
0 3 5 2
0 0 3 5
=5D3-2*3*D2
=325-114
=211,
依此类推，Dn=5D<n-1>薯乎皮-6D<n-2>,
其特征方程是x^2-5x+6=0,x=2,3,
设Dn=a*2^n+b*3^n,则
5=2a+3b,
19=4a+9b,
解得散碧弊慧虚a=-2,b=3,
所顷早以Dn=3^(n+1)-2^(n+1).
遗憾的是，追答中，下标丢了：Dn=5D<n-1>-6D<n-2>,
所以Dn-3D<n-1>=2[D<n-1>-3D<n-2>],
所以Dn-3D<n-1>=2^(n-2)*[D2-3D1]=2^(n-2)*(19-3*5)=2^n,
所以Dn-[3^(n+1)-2^(n+1)]=3[D<n-1>-(3^n-2^n)]
=……=3^(n-1)*[D1-(3^2-2^2)]=0,
所以Dn=3^(n+1)-2^(n+1).

追问

不太了解特征方程，能用递推法做吗

追答

Dn=5D-6D,
所以Dn-3D=2[D-3D],
所以Dn-3D=2^(n-2)*[D2-3D1]=2^(n-2)*(19-3*5)=2^n,
所以Dn-[3^(n+1)-2^(n+1)]=3[D-(3^n-2^n)]
=……=3^(n-1)*[D1-(3^2-2^2)]=0,
所以Dn=3^(n+1)-2^(n+1).