Question

拓扑空间的定义

Answer 1

拓扑空间是一种数学结构，可以在上头形式化地定义出如收敛、连通、连续等概念。

一、拓扑空间定义。

1、它在现代数学的各个分支都有应用，是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值，研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。

2、拓扑空间是一个集合X和其上定义的拓扑结构组成的二元组拓扑结构一词涵盖了开集，闭集，邻域，开核，闭包，导集，滤子等若干概念。从这些概念出发，可以给拓扑空间作出若干种等价的定义。在教科书中最常见的定义是从开集开始的。

二、拓扑之间的关系。

1、同一个全集可以拥有不同的拓扑，有些是有用的，有些是平庸的，这些拓扑之间可以形成一种偏序关系。

2、仅依赖于特定开集的存在而成立的结论，在更细的拓扑上依然成立；类似的，仅依赖于特定集合不是开集而成立的结论，在更粗的拓扑上也依然成立。

3、最粗的拓扑是由空集和全集两个元素构成的拓扑，最细的拓扑是离散拓扑，这两个拓扑都是平庸的。在有些文献中，我们也用大小或者强弱来表示这里粗细的概念。

拓扑空间范畴：

1、拓扑空间作为对象。

连续映射作为态射，构成了拓扑空间范畴，它是数学中的一个基础性的范畴。试图通过不变量来对这个范畴进行分类的想法，激发和产生了整个领域的研究工作，包括同伦论、同调论和K理论。

2、拓扑空间的构造。

拓扑空间的任何一个子集都可以被赋予一个子空间拓扑，子空间拓扑中的开集是全空间上的开集和子空间的交。

3、拓扑空间的分类。

依据点和集合分离的程度、大小、连通程度、紧性等。可以对拓扑空间进行各种各样的分类。并且由于这些分类产生了许多不同的术语。