Question

已知正数xyz,满足x+y+z=xyz

已知正数x,y,z满足x+y+z=xyz,且不等式1/x+y+1/y+z+1/z+x≤λ恒成立,求λ的取值范围.

Answer 1

由基本不等式，可得x+y>=2*根号xy
所以，1/（x+y）<=1/（2根号xy）
1/（x+y）+1/（y+z）+1/（z+x）<=1/(2根号xy)+1/(2根号yz)+1/(2根号xz)
=(根号x+根号y+根号z)/(2根号xyz)
由柯西不等式，可得（根号x+根号y+根号z）^2<=(x+y+z)(1+1+1)=3xyz
所以，(根号x+根号y+根号z)/(2根号xyz)<=(根号3)/2
因此，λ>=(根号3)/2
注：当且仅当x=y=z时，以上式子中，取“=”

Answer 2

因为1/x+y+1/y+z+1/z+x={x+y}²＋{y＋z}²＋{x＋z}²且{x＋y}²不等于0，{x＋z}²不等于0，{y＋z}²不等于0所以λ≥0.错了别怪我哈！谢谢 ！我不知道x+y+z=xyz有啥用

Answer 3

配凑柯西不等式1/（x+y）+1/（y+z）+1/（z+x）≤[1/2（xy）^0.5]+[1/2（yz）^0.5]+[1/2（zx）^0.5]=(1/2){1*[z/(x+y+z)]^0.5+1*[x/(x+y+z)]^0.5+1*[y/(x+y+z)]^0.5}≤(1^2+1^2+1^2)[x/(x+y+z)+y/(x+y+z)+z/(x+y+z)]^0.5=√3/2 (这种证法综合运用了柯西不等式和基本不等式） 因此λ只要大于√3/2就行了