Question

已知5n+1和7n+1是完全平方数,求证：n被24整除

Answer 1

证明：首先证明n必被3整除.
如果n=3n1+1,则
5n+1=15n1+6为完全平方数；且
7n+1=21n1+8也为完全平方数.我们知道,一个完全平方数被3除的余数只能有两个：0或1,故7n+1=21n1+8必不是完全平方数.矛盾.
如果n=3n1+2,则
5n+1=15n1+11为完全平方数；且
7n+1=21n1+15也为完全平方数.同样道理5n+1=15n1+11不可能是完全平方数.矛盾.
故n必被3整除.
设5n+1=x^2；
7n+1=y^2,x、y∈N（包括0）
那么其差值
(7n+1)-(5n+1)=2n=y^2-x^2=(y+x)(y-x)
若x、y同奇或同偶,则y+x为偶,y-x也为偶,那么y^2-x^2=2n必为4的整数倍,也即n为2的倍数；
若x、y一奇一偶,则y+x为奇数,y-x也为奇数,那么y^2-x^2必为奇数,与其差值2n为偶数矛盾.
故n可被2整除.
于是n必可被3×2=6整除.
那么可设
5n+1=5*6n2+1=30n2+1 （为奇数）
7n+1=7*6n2+1=42n2+1 （为奇数）
考虑到一个完全平方数被8除的余数只能是0或1或4,但是余数为0和4均不可能（因为一个奇数被8除的余数只能是奇数）,故余数只能为1,则必有30n2和42n2都可被8整除,也即n2可被4整除.
于是n=6n2=6*4n3=24n3
也即n能被24整除.