Question

(4)设一曲线方程过(0.1)点,且曲线上任意一点(xy)处的切线斜率为x+y,求曲线方

Answer 1

y'=x+y
y'-y=x
对应齐次方程：
y'-y=0
y'=y
y'/y=1
lny=x+C1,C1为常数。
y=C2e^x,C2为常数，C2=e^C1。
用变常数法求解：
y'=C2'e^x+C2e^x=(C2'+C2)e^x
代入原方程：
(C2'+C2)e^x-C2e^x=x
C2'e^x=x
C2'=xe^(-x)
C2=∫xe^(-x)dx=-∫xde^(-x)=-xe^(-x)+∫e^(-x)dx=-xe^(-x)-e^(-x)+C
y=[-xe^(-x)-e^(-x)+C]e^x=-x-1+Ce^x
x=0,y=1,代入：

1=-1+C，C=2，
所以曲线方程是：
y=-x-1+2e^x。
验证：
y'=-1+Ce^x
y'-y=(-1+Ce^x)-(-x-1+Ce^x)=x,
正确。