Question

求下列矩阵的特征值和特征向量:+1+2+4+1+0+2+0+7+0+0+3+4+00+0+2

Answer 1

为了求解矩阵的特征值和特征向量，我们需要解决方程(A - λI)v = 0，其中A是给定的矩阵，λ是特征值，v是对应于特征值λ的特征向量，I是单位矩阵。
给定的矩阵为：
| 1 2 4 |
| 1 0 2 |
| 0 7 0 |
| 3 4 0 |
首先，我们计算矩阵A - λI：
| 1-λ 2 4 |
| 1 -λ 2 |
| 0 7 -λ |
| 3 4 -λ |
然后，我们求解行列式 det(A - λI) = 0，即：
(1-λ) [(-λ)(-λ) - (2*7)] - 2 [(1)(-λ) - (2*3)] + 4 [(1)(7) - (2*0)] = 0
化简得到：λ^3 - 1 = 0
解这个方程得到三个特征值：
λ1 = 1
λ2 = e^(i2π/3) = (-1 + i√3)/2
λ3 = e^(i4π/3) = (-1 - i√3)/2
接下来，我们计算每个特征值对应的特征向量。
对于λ1 = 1，我们需要求解方程 (A - λ1I)v1 = 0：
| 0 2 4 | | v1_1 | | 0 |
| 1 -1 2 | * | v1_2 | = | 0 |
| 0 7 -1 | | v1_3 | | 0 |
| 3 4 -1 | | v1_4 | | 0 |
解这个方程得到 v1 = (2, -6, -1, 1)。
对于λ2 = (-1 + i√3)/2，我们需要求解方程 (A - λ2I)v2 = 0：
| 2(1+(-1+i√3)/2) 2 4 | | v2_1 | | 0 |
| 1 (-1+(-1+i√3)/2) 2 | * | v2_2 | = | 0 |
| 0 7 (-(-1+i√3)/2) | | v2_3 | | 0 |
| 3 4 -((-1+i√3)/2) | | v2_4 | | 0 |
化简方程得到 v2 = ((-1+i√3)/2, 1, -1, 1)。
对于λ3 = (-1 - i√3)/2，我们需要求解方程 (A - λ3I)v3 = 0：
| 2(1+(-1-i√3)/2) 2 4 | | v3_1 | | 0 |
| 1 (-1+(-1-i√3)/2) 2 | * | v3_2 | = | 0 |
| 0 7 (-(-1-i√3)/2) | | v3_3 | | 0 |
| 3 4 -((-1-i√3)/2) | | v3_4 | | 0 |
化简方程得到 v3 = ((-1-i√3)/2, 1, -1, 1)。
综上所述，给定矩阵的特征值为 λ1 = 1, λ2 = (-1 + i√3)/2, λ3 = (-1 - i√3)/2，而对应的特征向量为 v1 = (2, -6, -1, 1), v2 = ((-1+i√3)/2, 1, -1, 1), v3 = ((-1-i√3)/2, 1, -1,