Question

数列an满足递推式an=3an-1+3^n-1,n大于等于2，其中a1=5,则数列通项公式为？

数列an满足递推式an=3an-1+3^n-1,n大于等于2，其中a1=5,则数列通项公式为（3an-1，是3an前面的一个数，

Answer 1

解：∵a[n]=3a[n-1]+3^n-1，n≥2
∴两边除以3^n，得：
a[n]/3^n=3a[n-1]/3^n+1-1/3^n
即：a[n]/3^n-a[n-1]/3^(n-1)=1-1/3^n
有：a[n-1]/3^(n-1)-a[n-2]/3^(n-2)=1-1/3^(n-1)
......
a[3]/3^3-a[2]/3^2=1-1/3^3
a[2]/3^2-a[1]/3^1=1-1/3^2
∵a[1]=5
∴ a[1]/3^1=1-1/3^1+1
将上面各式叠加，得：
a[n]/3^n=(n+1)-(1/3)[1-(1/3)^n)]/(1-1/3)
∴a[n]=3^n{(n+1)-[1-(1/3)^n]/2}
=[(2n+1)3^n+1]/2

Answer 2

解：∵a[n]=3a[n-1]+3^n-1，n≥2
∴两边除以3^n，得：
a[n]/3^n=3a[n-1]/3^n+1-1/3^n
即：a[n]/3^n-a[n-1]/3^(n-1)=1-1/3^n
有：a[n-1]/3^(n-1)-a[n-2]/3^(n-2)=1-1/3^(n-1)
......
a[3]/3^3-a[2]/3^2=1-1/3^3
a[2]/3^2-a[1]/3^1=1-1/3^2
∵a[1]=5
∴ a[1]/3^1=1-1/3^1+1
将上面各式叠加，得：
a[n]/3^n=(n+1)-(1/3)[1-(1/3)^n)]/(1-1/3)
∴a[n]=3^n{(n+1)-[1-(1/3)^n]/2}
=[(2n+1)3^n+1]/2