Question

怎么求极大线性无关组

Answer 1

求极大线性无关组如下：

1、将给定的向量按行排列形成矩阵A。

2、对矩阵A进行行变换，使该矩阵的行最简化阶梯形式。行最简化阶梯形式的定义为：即对于任何一个非零行，该行的第一个非零元素为1，该元素所在的列中其他元素均为0；每个非零行在上一行的左侧都至少有一个0。

3、进一步化简行最简化阶梯形矩阵A，使得 A 的每一列都最多只含有一个非零元素。

4、根据化简后的矩阵A，选取A的首个非零行的行向量作为线性无关组的首个向量，再依次选取A中后续的首行非零向量作为线性无关组的后续向量，直到线性无关组的向量数量达到最大。

5、将选出的向量组成矩阵B，套用“向量组线性无关的充分必要条件为齐次线性方程组只有零解”的结论，即通过求解Bx=0的解空间来验证所选取的向量组是否线性无关。

注意事项

1、行变换过程中需要小心运算，避免出现错误的结果：需要反复检查计算过程，注意符号和系数的处理，避免出现计算错误。

2、在化简矩阵A的过程中，需要保证不改变向量组的线性相关性质：需要合理运用初等行变换，尤其是行交换和行倍乘操作，从而得到矩阵A的行最简化阶梯形式。

3、选取线性无关组的向量数量需要注意不能超过矩阵A的秩：如果A的秩为r，则最多可以选取r个线性无关向量作为序列。

4、需要验证所选取的向量组是否线性无关：可以通过求解矩阵Bx=0的解，来判断向量组的线性相关性质，并检验求解过程的正确性。

5、如果求得的向量组不是矩阵A的极大线性无关组：需要调整所选择的向量来满足极大性质。