Question

这个高数的求极限题，我算的是0为什么不对？具体写在详情中了

X是趋近于无穷的，分子的（1+X分之1）是无穷小的，因为X分之一是无穷小的，然后X的平方是无穷大。无穷小的无穷大次方就是无穷小量。E的X方。是无穷大量。无穷小量比无穷大量，极限不应该是0吗。为什么错了呢，求大佬解答

Answer 1

根据你提供的信息，我可以尝试帮助你理解为什么你的推理可能不正确。你提到的问题涉及到求极限的计算，具体是针对函数 f(x) = e^(x^2) / (1 + 1/x)。
首先，让我们来看一下你的推理过程。你正确地指出当 x 趋近无穷时，(1 + 1/x) 是一个趋近于 1 的无穷小量，而 x^2 是一个无穷大量。然后你得出结论说无穷小量的无穷大次方是无穷小量，而 e^(x^2) 是一个无穷大量，所以极限应该是 0。
然而，在这种情况下，你的推理有一个问题。事实上，无穷小量的无穷大次方是一个不确定的形式，我们不能简单地断定它是一个无穷小量。这是因为在数学中，无穷大量的性质是相当复杂和多样化的，不同的情况可能导致不同的极限结果。
回到这个具体的问题，我们可以使用一些数学的技巧来计算这个极限。通过对分子和分母同时除以 x^2，我们可以将该函数重写为 f(x) = (e^(x^2) / x^2) / (1/x + 1/x^3)。现在我们可以看到当 x 趋近无穷时，分子和分母都趋近于无穷大。我们可以应用洛必达法则，对分子和分母同时求导，得到 f(x) 的极限为极限 (2x * e^(x^2)) / (1 - 3/x^2)。当 x 趋近无穷时，极限变为无穷大。
因此，正确的极限结果应该是无穷大，而不是 0。这是因为在这个具体的问题中，无穷小量的无穷大次方并不一定是一个无穷小量。
请注意，解决数学问题时，我们应该小心并严格遵循数学定理和规则。如果对于特定的问题存在困惑，最好请教老师或其他专业人士，以确保得到准确的答案和解释。

Answer 2

首先，题目中的 "E的X方" 应该是指 e 的 x 次方，即 e^x。
因此，我们需要证明的是：
从题目中可以知道：
1. 当 x 趋向于正无穷大时，分子 (1 + x)^1 也趋向于正无穷大。
2. 当 x 趋向于正无穷大时，e^x 也趋向于正无穷大。
那么根据极限的定义，我们可以得到如下结论：
lim (1 + x)^1 / e^x = 0 (当 x 趋向于正无穷大时)
这是因为当 x 趋向于正无穷大时，分子 (1 + x)^1 趋于正无穷大，而分母 e^x 也同样趋向于正无穷大，因此它们的比值本质上是一个无穷大量相对于另一个无穷大量的比值，可以使用 L'Hopital 法则进行计算：
lim (1 + x)^1 / e^x = lim [d/dx(1 + x)^1] / [d/dx(e^x)]
= lim [(1 + x)^0] / [e^x]
= lim [1] / [e^x]
= 0 (当 x 趋向于正无穷大时)
因此，我们可以得出当 x 趋向于正无穷大时，比值 (1+x)^1 / e^x 的极限等于 0。而这并不等于 "无穷小量比无穷大量，极限应该是 0" 这个结论。从以上证明过程中可以看出，在这个比值的极限中，并没有出现任何无穷小量，因此无法将其简单地归纳为 "无穷小量比无穷大量，极限应该是 0" 的形式。
希望以上解答能够帮助您理解这个问题。

Answer 3

需要求解的极限是：
lim(x→∞) [(1 + 1/x)^x] / e^x
首先，我们可以将分子部分进行变换：
(1 + 1/x)^x = e^(x * ln(1 + 1/x))
所以，原极限问题变为：
lim(x→∞) [e^(x * ln(1 + 1/x))] / e^x
接下来，我们可以将指数部分进行相减：
lim(x→∞) e^(x * ln(1 + 1/x) - x)
现在，我们需要求解指数部分的极限：
lim(x→∞) (x * ln(1 + 1/x) - x)
我们可以将这个极限问题转化为洛必达法则求解：
lim(x→∞) [ln(1 + 1/x) - 1] / (1/x)
应用洛必达法则，求导数：
lim(x→∞) [(-1/x^2) / (1/x^2)] = -1
所以，原极限问题变为：
lim(x→∞) e^(-1) = 1/e
因此，极限的值为 1/e。

Answer 4

"分子的（1+X分之1）是无穷小的"
这句话错了。
注意到对数函数是连续函数，可以先对所求的式子取对数，再取极限，再取指数。