Question

用高斯公式计算曲面积分？

如图。

Answer 1

原第一类曲面积分
= ∯<∑> x^2dydz + y^2dxdz + z^2dxdy (用高斯公式)
= ∫∫∫<Ω>(2x+2y+2z)dxdydz
= 2∫<0, h>dz∫<0, 2π>dt∫<0, z>(rcost+rsint+z)rdr
= 2∫<0, h>z^3dz∫<0, 2π>[(1/3)(cost+sint)+(1/2)]dt
= 2∫<0, h>z^3dz[(1/3)(sint-cost)+(1/2)t]<0, 2π>
= 2π[z^4/4]<0, h> = (π/2)h^4

Answer 2

令P=xy²,Q=yz²,R=zx²
∵αP/αx=y²,αQ/αy=z²,αR/αz=x²
∴由高斯公式,得原式=∫∫∫ (αP/αx+αQ/αy+αR/αz)dxdydz
=∫∫∫ (x²+y²+z²)dxdydz
=∫<0,2π>dθ∫<0,π/2>dφ∫<0,R>r²*r²sinφdr
=(2π-0)(1-0)(R^5/5-0)
=2πR^5/5

Answer 3

只要你自己尝试几次就完全没有问题了，而且电脑手机都没影响的。

Answer 4

原第一类曲面积分
= ∯<∑> x^2dydz + y^2dxdz + z^2dxdy (用高斯公式)
= ∫∫∫<Ω>(2x+2y+2z)dxdydz
= 2∫<0, h>dz∫<0, 2π>dt∫<0, z>(rcost+rsint+z)rdr
= 2∫<0, h>z^3dz∫<0, 2π>[(1/3)(cost+sint)+(1/2)]dt
= 2∫<0, h>z^3dz[(1/3)(sint-cost)+(1/2)t]<0, 2π>
= 2π[z^4/4]<0, h> = (π/2)h^4

Answer 5

利用高斯公式计算曲面积分是3∫∫∫ydxdydz=3∫∫∫[(y-1/2)+1/2]dxdydz，在静电场中，穿过任一封闭曲面的电场强度通量只与封闭曲面内的电荷的代数和有关，且等于封闭曲面的电荷的代数和除以真空中的电容率。
曲面积分定义在曲面上的函数或向量值函数关于该曲面的积分。曲面积分一般分成第一型曲面积分和第二型曲面积分。
第一型曲面积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。第二型曲面积分物理意义来源对于给定的空间曲面和流体的流速，计算单位时间流经曲面的总流量