微分方程-初等变换法
如果微分方程
中的函数 和 都是 和 的同次（例如 次）齐次函数，即：
则称方程为 齐次方程
对于齐次方程（1），标准的标量替换是
其中 为新的未知函数， 仍为自变量
易知
因此把变换带入（1）有
得到了一个变量分离的方程
(i)易知方程（1）为齐次方程的一个等价定义是，它可以转化为如下形式：
(ii) 容易看出， 是方程（3）的一个特解，但他未必是原方程（1）的解，出现这种情况的原因在于变换（2）的过程当 的时候是不可逆的.
讨论形如
的方程得求解法，这里设 为常数
①
此时为齐次方程，可用变换 求解.
② .
此时可选常数 和 ，使得
然后取自变量和未知函数的(平移)变换
则原方程就化为 与 的方程
这已经是齐次方程. 因此只需要令 即可把它转化成变量分离的方程.
③ .
此时有 . 因此，原方程化为
再令 为新的未知函数， 仍为自变量，则上述方程化为
他是一个变量分离的方程
形如
的方程称为伯努利方程，其中 为常数，而且 和 . 以 乘以方程两边，即得
令 ，就有
这是关于未知函数 的一阶线性方程.
假如一阶微分方程
的右端函数 是一个关于 的二次多项式，则称此方程为二次方程；他可以写成如下形式:
其中 在区间 上连续，而且 不恒为零.
方程（2.49）通常又叫做 Riccati 方程. 这是形式上最简单的非线性方程. 但是，一般而言，它已不能用初等积分法求解
设已知 Riccati 方程（2.49）的一个特解 则可用积分法求得它的通解.
证明：
对方程（2.49）作变换 ，其中 是新的位置函数. 带入方程 （2.49），得到
,
由于 是（2.49）的解，从上式消去相关项时，有
这是一个伯努利方程
设 Ricccati 方程
其中 都是常数. 又设 和 . 则当
时，方程（2.50）可通过恰当的变换化为变量分离的方程.
证明：
不妨设 (否则作自变量变换 即可). 因此代替方程（2.50），我们考虑方程
当 时，（2.52）是一个变量分离的方程
当 时，作变换 ，其中 是新未知函数. 然后代入方程（2.52）得到
这也是一个变量分离的方程
当 时，作变换
其中 和 分别为新的自变量和未知函数，则（2.52）变为
其中 . 再做变换
其中 和 是新的自变量和未知函数，则（2.53）变为
其中
方程（2.54）与（2.52）在形式上一样，只是右端自变量的指数从 变为 . 只要将上述变换的过程重复 次，就能把方程（2.52）化为 的情形.
当 时，为微分方程（2.50）就是（2.53）的类型，从而可化为（2.54）的形式，从而可以化为 的情形，至此定理证完.
