Question

设f(x)在[a,b]上连续且恒正,试用有限覆盖定理证明:f(x)在[a,b]上存在正的下界.

Answer 1

对x∈[a,b],f（x）＞0 存在x的邻域（ax,bx）,使t∈（ax,bx）,

总有f（t）∈（f（x）/2,3f（x）/2）.｛（ax,bx）|x∈[a,b]｝覆盖[a,b].

[a,b的邻域可用半闭的，]。

必有有限个（ax,bx），覆盖[a,b].在这有限个f（x）/2中

最小的一个f（x）/2。就是f(x)在[a,b]上的一个正的下界.