Question

离散数学中的关系

Answer 1

写这篇文章时，试图参照资料把离散数学中的关系总结出一个明确的概念，起初发现很难解释清楚，后来把关系理解为二元关系的相关属性。从图，集合，矩阵单个方面的相关术语进行相关验证和比较，就可以更深入的理解和应用。

从数学的角度来说，关系是笛卡儿的子集，就是一个二维表，还可以是一个矩阵，一个有向图

n元关系，多个（>2）集合的笛卡儿的子集，集合的个数叫关系的阶叫做n.类似n个数

可以用集合，图，矩阵来表示二元关系

关于离散数学中的关系，会出现以下几个概念，二元关系，等价关系，整除关系

我们通过分析他们的共性即可以深入的理解【关系】的含义

这篇文章中主要围绕关系的三种表示方法展开讨论。将涉及到无向图，临接矩阵，关联矩阵，等价关系，整除关系相关的概念

因为在二元关系中，关系的表示方法有三种:分别是集合表示法，图示，和矩阵表示。也就是说这三种方式都能说明关系。图示法会包括有向图和无向图，矩阵会包括关联矩阵和临接矩阵。

基数（阶）集合的元素个数 |A|

例：设A=(1,2,3,4) R是A上的二元关系，并且P｛<1,1>,<1,3>,<3,1>,<3,3>,<4,1>,<4,2>,<4,3>} 画R的关系图和矩阵

关系矩阵为:

1 0 1 0

0 0 0 0

1 0 1 0

1 1 1 0

【定义】设集合A={x1,x2,…,xm},B={y1,y2,…,yn}，R为A,B之间的二元关系。以A,B中的元素为顶点，若εR，则从顶点xi向yj引有向边，称所画出的图G(R)为R的关系图。用图来表示二元关系，就可以使用图论中的理论解释相关属性。

例：如 图-1 关系图就是顶点为{1,2,3,4}, 边为P 的图,

这里明确一点，关联矩阵和临接矩阵是用矩阵的方式表示图，总归还是属于图论里的范畴。

关联矩阵即用一个矩阵来表示各个点和每条边之间的关系，关联矩阵关注的是顶点之间是否关联，并且关联次数具体是几次，和顶点与边的终点和始点有关系（对于有向图而言）。

对于一个无向图G，pxq, p为顶点的个数，q为边数。 b i j 表示在关联矩阵中点i和边j之间的关系。若点i和边j之间是连着的，则 b i j = 1. 反之，则 b i j = 0.

图-1 表示p=4 ，q=4.

4*4的矩阵图，b1 e1 表示 定点1 与边e1是否相连接，连接则为1 ，否则为0.依次得出如下的矩阵图

矩阵图如下

以上实际上是使用 关联矩阵 的方式来表示无向图。

与关联矩阵类似，但是比较容易混淆的另一个概念是 临接矩阵。临接矩阵表示顶点与顶点之间的关系。

顶点的集合是一个一维数组，顶点之间的关系是一个二维数组。

同样的关联矩阵，则用两个一维数组表示。

如图-3整除关系

例题

设A为54的因子构成的集合,R A×A, x,y∈A, xRy x整除y.画出偏序集的哈斯图,并求最大元最小元极大元极小元

首先我们明白什么是因子

X的倍数是54,X就是它的因子.如2*27=54,所以2,27都是它的因子.

A=｛1,2,3,6,9,18,27,54｝

最大元,极大元地：54

最小元,极小元：1

离散数学整除关系

整除关系

临接矩阵与关联矩阵