Question

矩阵A的行列式等于0的充要条件是A的秩小于n 为什么?

Answer 1

1、任何方阵都可以通过初等行变换转化为上三角阵.
2、上三角阵的行列式为0当且仅当主对角线上的元素中有0.
3、n阶上三角阵的秩 = n － 主对角线上0的个数.
4、初等行变换 = 左乘（可逆）初等矩阵.
于是初等行变换保秩,并且使得变换前后的矩阵的行列式同为0或同不为0.这样,A的行列式为0当且仅当对应的上三角阵秩小于n,也即A的秩小于n.

Answer 2

因为矩阵的秩小于n，则一定可以通过初等变换化为其中一行（列）或多行（列）为零的情况，初等行（列）变换是左（右）乘一初等矩阵，进行多次行（列）变换就是乘多个初等矩阵，因为矩阵一定可以通过初等变换化为某（多）行（列）为零的矩阵，故矩阵可写为一些初等矩阵左乘（行变换）某（多）行（列）为零的矩阵再右乘（列变换）一些初等矩阵的形式（若仅通过一种变换可以仅左乘或右乘），如下:AA1A2…BCC1C2…，而由于|AB|=|A||B|所以|原式|=|A||A1||A2|…|B||C||C1||C2|…其中，由于B的行或列一定有全为零的，所以|B|=0，故|原式|为零，即矩阵得行列式为零。