Question

解三角形与基本不等式综合

Answer 1

解三角形问题当中有一类问题是最值问题，这类问题往往要结合基本不等式来解决。今天就来为大家分享几个解三角形与基本不等式综合的题目。

先看这道江苏盐城中学2021质量检测题

当小伙伴们看到

大概就想到了常数代换法构造基本不等式求最值，关键就是这个常数的值如何得到

先作出图形，利用向量数量积的定义求出AB与AC的乘积，再利用三角形面积公式求出三角形ABC的面积，把三角形ABC的面积表示为三个小三角形面积的和，即可得出x+y=1，这就是我们常数代换法需要的常数值

利用常数代换法构造出乘积为定值的两项，即可根据“积定和最小”求出和的最小值，注意不要忘了取等号条件。

再来看下面这道求面积最小值的题

依旧是先作出图形，然后我们发现可以用两种方式表示三角形ABC的面积，最终可得出a,b,c的一个关系式

结合余弦定理，得出b,c的关系，把b方+c方用bc表示

最后结合重要不等式即可解得bc的范围，就可以进一步求出三角形面积的最小值

最后来看江苏省四校联考这道题

在做这道题之前，先给小伙伴们推导一个公式，小伙伴们先记住了，这个公式有些时候用起来还挺方便的，这道题也会用到

接着我们来转化题目条件，有点复杂，大家一步一步看：

首先用余弦定理作一步代换

然后边化角，利用三角形内角和关系和三角恒等变换作变形，最终得出A和B的关系

注意，接下来就到了要用刚才的公式的时候了，看，是不是能达到出其不意的效果

到这儿，对于题目条件的化简，就总算是完成了，而且看到这个最终形式一下子就知道了要怎么样用基本不等式求解。不过可别高兴得太早，真正容易出错的地方还在后面！

这一步利用基本不等式，大家都会。不过，你要是忘了验证“三相等”，一个错误答案就此产生了

t能否取到二分之根号二？你有没有觉得这道题有什么条件一直没有用到？

是啊，是不是都快忘了这是锐角三角形？这样的话A就是有取值范围的，t就当然也有取值范围

最后结合“对勾函数”的单调性即可求出取值范围

纵观这道题，会有一部分小伙伴卡在化简。而即使你化简出来了，也很有可能在“三相等”这里出错，因为你刚刚完成了一个非常复杂的化简，正沉浸在巨大的成就感当中，而这个时候是非常容易掉以轻心的。不得不说，这题出得确实有一定水平。