Question

利用极限定义求极限的问题

几道简单的题目，求大神解答
用定义证明Lim (x+3) / (x^2-3x+2) 在x-->1时趋向于无穷大
用定义证明A=1不是函数在点a= -3时的极限，函数为 f(x)= (3+x) / (x^2-3x+2)
证明 在点a=0不存在函数f(x)=Sin^2 (1/x)的极限
求大神解答啊

Answer 1

对任意ε>0，要使|(x^2-2x)/(x+2) - 3|<ε
即|(x^2-2x-3x-6)/(x+2)|<ε
也即|x+1|*|x-6|/|x+2|<ε
首先限定：-1.5<x<-0.5
即有：-7.5<x-6<-6.5；0.5<x+2<1.5
则，|x+1|*|x-6|/|x+2|<7.5*|x+1|/0.5=15*|x+1|<ε
那么，|x+1|<ε/15
因此，不妨就取δ=min{ε/15，0.5}，故有：
任意ε>0，存在δ>0，使当|x+1|<δ，都有|(x^2-2x)/(x+2) - 3|<ε成立
故由ε-δ定义得，x趋向-1时,lim(x^2-2x)/(x+2)=3