Question

若实数X.Y满足（X-2)^2+Y^2=3，则Y/X的最大值为

解释下Y/X的意思基本就OK了

Answer 1

方法一:几何法(x-2)^2+y^2=3表示圆心为(2,0),半径为根号3的圆,
y/x表示圆上一点M(x,y)的斜率,连接OM看出,OM与圆相切时有最大和最小值,最大值为根号3

方法二:参数法,由圆方程(x-2)^2+y^2=3,可以设圆上任一点P为
(2+√3cost,√3sint),则y/x=k=√3sint/(2+√3cost),整理得
2│k│<=√3（sint-kcost)<=[3(1+k^)]^(1/2)
平方整理得k^<=3，所以(y/x)max=根号3

方法三：判别式法
设y/x=k，则y=kx
代入方程，得
(x-2)�0�5+(kx)�0�5=3
整理得(k�0�5+1)x�0�5-4x+1=0
∵x为实数，即该方程有实根
∴Δ=(-4)�0�5-4(k�0�5+1)=12-4k�0�5≥0
-√3≤k≤√3
∴k的最大值为根号3，也就是y/x的最大值是根号3

Answer 2

满足题目条件的(x,y)在以(2,0)为圆心,半径为根号3的圆上
而y/x的最大值即求以上点与原点组成的直线的斜率的最大值
易知,当直线是切线的时候有极值
设y=kx
则(x-2)^2+k^2*x^2=3
(k^2+1)-4x+1-0 判别式=0
所以16-4(k^2+1)=0
解得k的较大的一个值是根号3
即y/x的最大值是 √3