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第一个划线处是用了一次洛必达法则后的化简，分子的导数是-1/(π/2-arctanx)×1/(1+x^2)，分母的导数是1/x，化简后就是划线部分。
第二个划线处用到了一个恒等式，arctanx+arccotx=π/2，即arctanx+arctan(1/x)=π/2。（这个化简不是必要的，继续使用洛必达法则也行）
第三个划线处，用了等价无穷小，arctan(1/x)等价于1/x。
－－－－－
也可以这样做，用一次洛必达法则后稍加整理再用一次：lim lny=lim -1/(π/2-arctanx)×1/(1+x^2) / (1/x) =lim -x/(1+x^2)/(π/2-arctanx)=lim ((x^2-1)/(1+x^2)^2) / (-1/(1+x^2)) =lim (1-x^2)/(1+x^2)=-1。
第二个划线处用到了一个恒等式，arctanx+arccotx=π/2，即arctanx+arctan(1/x)=π/2。（这个化简不是必要的，继续使用洛必达法则也行）
第三个划线处，用了等价无穷小，arctan(1/x)等价于1/x。
－－－－－
也可以这样做，用一次洛必达法则后稍加整理再用一次：lim lny=lim -1/(π/2-arctanx)×1/(1+x^2) / (1/x) =lim -x/(1+x^2)/(π/2-arctanx)=lim ((x^2-1)/(1+x^2)^2) / (-1/(1+x^2)) =lim (1-x^2)/(1+x^2)=-1。
追问
谢谢！但是还想问下，那个等价无穷小需要自己推吗，还是记结论？哪里有详细介绍？课本上有结论吗？
追答
是常用的等价无穷小，是“x→0时，tanx～x”的变形
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