Question

过抛物线y=1/2x^2的顶点O作两条相互垂直的弦OA和OB， A为动点。求证：直线AB恒过一个定

过抛物线y=1/2x^2的顶点O作两条相互垂直的弦OA和OB， A为动点。求证：直线AB恒过一个定点。

Answer 1

函数图象对称轴为Y轴
设A(X1，X1²/2）、B（X2，X2²/2）
从A作AM⊥X轴于M，B作BN⊥X轴于N
OA⊥OB，所以∠AOM+∠BON=90
AM⊥X轴，所以∠AOM+∠OAM=90
因此∠OAM=∠BON
又有∠AMO=∠ONB=90
所以△AOM∽△OBN，AM：ON=OM：BN
（1）当A在Y轴左边，则B在Y轴右边
AM=X1²/2，OM=-X1，ON=X2，BN=X2²/2
X1²/2：X2=-X1：（X2²/2）
X1²X2²/4=-X1X2
X1X2=0（舍去），X1X2=-4
设直线AB表达式为Y=KX+B
代入A、B坐标：
KX1+B=X1²/2①
KX2+B=X2²/2②
①-②得：K（X1-X2）=（X1²-X2²）/2
因为X1-X2≠0，两边同时除以X1-X2
K=（X1+X2）/2
代入①：X1（X1+X2）/2+B=X1²/2
X1²/2+X1X2/2+B=X1²/2
B=-X1X2/2=-（-4）/2=2
因此直线AB过定点（0，2）