Question

已知函数f(x)=e^x+e^(-x),g(x)=2x+ax2,a为实常数.

（1）求f(x)在区间[-1，ln2]上的最大值；
（2）当a=-1时,证明：存在x0∈R，使得y=f(x)和y=g(x)的图像在x=x0处的切线平行；
（3）若对任意x∈R，不等式f(x)≥g‘(x)恒成立，求a的取值范围。
请大家帮忙解答一下，O(∩_∩)O谢谢~
打错了
g(x)=2x＋ax^3

Answer 1

(1) f'(x)=e^x-e^(-x)
　　f'(x)=0 x=0
　　f(-1)=1/e+e≈ 3.0862 f(0)=2 f(ln2)=2+1/2=2.5
　　∴ max(f(x))=1/e+e≈ 3.0862
(2) a=-1 f(x)=e^x+e^(-x) g(x)=2x-x^2
　　e^x-e^(-x)=2-2x x0=0.490073
(3) f(x)-g'(x)=e^x+e^(-x)-2-2ax
　　[f(x)-g'(x)]'=e^x-e^(-x)-2a=0 (e^x)^2-2ae^x-1=0 x=a+√(1+a^2) x=a-√(1+a^2)（舍去)
　　[f(x)-g'(x)]'‘=e^x+e^(-x)>0
　　即x=a+√(1+a^2)时, f(x)-g'(x)取得最小值，要使不等式f(x)≥g‘(x)恒成立，必须且只需：

　　e^(a+√(1+a^2) )+e^(-(a+√(1+a^2) ))-2-2a(a+√(1+a^2) )>=0
　　==>a<=1/2

追问

g(x)=2x+ax^3时，第二三问要怎么做啊？

追答

不是已经求出了吗？
（2）不就是导数相等吗？
（3）的核心是比较。

Answer 2

1、f(x)=e^x+e^(-x),求导f‘(x)=e^x-e^(-x),有唯一零点x=0，
且x>0时，f'(x)>0
x<0时，f'(x)<0
又f(-1)=f(1)>ln2，所以最值在-1处取得：f(-1)=e+1/e
2、令F(x)=f(x)-g(x)=e^x+e^(-x)-2x+x^2
F'(x)=e^x-e^(-x)-2+2x
F''(x)=e^x+e^(-x)+2>0,所以F'(x)单调增
显然x趋于+无穷时，F'(x)趋于+无穷
x趋于-无穷时，F'(x)趋于-无穷
由F'(x)的连续性，中间必有一点为0，即存在一点x0，使得F’(x)=0，即f'(x)=g'(x)
y=f(x)和y=g(x)的图像存在点x=x0处的切线平行(这里没有要求他们相切)
3、这里 不等式f(x)≥g‘(x)还是g(x)需要先确认一下

追问

g(x)=2x+ax^3时，第二三问要怎么做啊？

追答

没赶上,已经采纳了,问题解决就行
不过提醒一下证明和计算的区别,用我的方法解决第二问中新的g没问题