Question

设E,F分别是平行四边形ABCD的边AB,CD上的中点,线段DE和AF相交于点P,点Q在线段DE上，且AQ平行PC.

求：梯形APCQ的面积除以平行四边形ABCD的面积

Answer 1

延长DE和BC，使其交于G。再过B作PC和AF的平行线分别交DG于M、N

因为△AEQ≌△BEM（AAS），所以BM=AQ

同理△BNE≌△APE(AAS)，所以BN=AP

同理△AED≌△BEG（AAS），得出BG=AD=BC，故B为GC中点。所以PC=2BM=2AQ

且F为BC中点，则GB/GF=2/3=NB/PF=AP/PF

设△PFC的高为h1（以PC为底），梯形APCQ的高为h2

那么h1/h2=PF/AP=3/2（这个地方不明白的话可以先问，晚点给你解释）可设h1=3k，h2=2k

S△PFC=1/2*PC*h1=3k/2*PC，S梯形APCQ=1/2(AQ+PC)*h2=3k/2*PC

因此S△PFC=S梯形APCQ

 

观察△PFC和△ABF，他们“高”的比=PF/AF=3/5

因此S△PFC/S△ABF=3/5

又因为S△ABF=1/4*S平行四边形ABCD

所以S△PFC/S平行四边形ABCD=3/20

故S梯形APCQ/S平行四边形ABCD=3/20

 

关于h1/h2=PF/AP=3/2（这个地方不明白的话可以先问，晚点给你解释）

这里的辅助线我没有做出来：做出来看就比较清楚了，h1为PC上的高，设垂足为H；h2为梯形的高，延长PC，过A来做，设垂足为K。可以看到△APK∽△FPH，根据比例即得出此结论