已知abc为两两不相等的实数，求证：a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca
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a^2+b^2+c^2
=1/2(a^2+b^2+c^2+a^2+b^2+c^2)
>=1/2(2ab+2ca+2bc)
=ab+bc+ca
（当a=b=c是取等号）
又abc两两不等
故a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca
=1/2(a^2+b^2+c^2+a^2+b^2+c^2)
>=1/2(2ab+2ca+2bc)
=ab+bc+ca
（当a=b=c是取等号）
又abc两两不等
故a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca
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a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca等价于
2(a^2+b^2+c^2)>2(ab+bc+ca)等价于
(a-b)^2+(b-c)^2+(b-c)^2>0abc为两两不相等的实数所以最后一个不等式显然成立
2(a^2+b^2+c^2)>2(ab+bc+ca)等价于
(a-b)^2+(b-c)^2+(b-c)^2>0abc为两两不相等的实数所以最后一个不等式显然成立
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∵(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²≥0
又∵两两不相等
∴(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²>0
∴a²+b²-2ab+b²+c²-2bc+c²+a²-2ca>0
2a²+2b²+2c²-2ac-2bc-2ca>0
除以2
a²+b²+c²-ac-bc-ca>0
∴
a²+b²+c²>ac+bc+ca
又∵两两不相等
∴(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²>0
∴a²+b²-2ab+b²+c²-2bc+c²+a²-2ca>0
2a²+2b²+2c²-2ac-2bc-2ca>0
除以2
a²+b²+c²-ac-bc-ca>0
∴
a²+b²+c²>ac+bc+ca
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