高等数学中等价无穷小的问题

题目是:求当x→0时,(tanx-sinx)/(sinx)3的极限是多少?根据等价无穷小的结论,当x→0时tanx=x,sinx=x。因此上式可以转化为(x-x)/x3,... 题目是:求当x→0时,(tanx-sinx)/(sinx)3的极限是多少?

根据等价无穷小的结论,当x→0时tanx=x,sinx=x。因此上式可以转化为(x-x)/x3,结果是0。

但是本人将式子进行转换,tanx-sinx=sinx(1-cosx)/cosx;(sinx)3=sinx(sinx)2.将两式同时除以sinx,(显然sinx≠0),可以得(1-cosx)/cosx[1-(cosx)2],这里1-(cosx)2可以分解为(1+cosx)(1-cosx).由于x→0所以,cosx≠1。因此上式可以同时约掉1-cosx;最后式子就成了1/cosx(1+cosx)。最后的结果居然是1/2!

怎么会出现这样的情况?到底是等价无穷小错了还是我后面的推算有问题?请大家指导下!
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百度网友1cbd42b9d
2010-03-30 · TA获得超过1917个赞
知道小有建树答主
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你错误运用了等价无穷小。1/2是正确的。
这是一个特别需要注意的地方,当分子或者分母为几个函数的和时,要把它们作为一个整体去等价。而不是单个等价。然后再加起来。
wswhk
2010-03-30 · TA获得超过7.1万个赞
知道顶级答主
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注意 x→0的时候不是tanx=x 而是趋于x 这个和等号有本质的不同

你把tanx和sinx都做taylor展开就看清楚了 虽然他们都与x同阶 但是高阶部分不同 两者相减去掉了高阶的部分还剩下三阶的x
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汴梁布衣
2010-03-30 · TA获得超过3291个赞
知道大有可为答主
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你对等价无穷小的理解有误差:tanx~x,sinx~x
等价无穷小代换,方法a~a',b~b',则lima/b=lima'/b'
你用的不对。
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