Question

已知函数f(x),x∈R,若对于任意实数a,b,都有f(a+b)=f(a)+f(b),求证:f(x

已知函数f(x),x∈R,若对于任意实数a,b,都有f(a+b)=f(a)+f(b),求证:f(x)为奇函数。

Answer 1

令b=0，则有f(a+0)=f(a)+f(0),所以f(0)=0
令b=-a,则有f(a+b)=f(a-a)=f(a)+f(-a)=f(0)=0
所以有 f(-a)=-f(a),因为a、b为任意实数，所以f(x)为奇函数

追问

已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)(x∈R,y∈R),且f(0)≠0,试判断函数f(x)的奇偶性。

帮一下

追答

等一下，我看看

追问

想好了么？

追答

令y=x，有f(2x)+f(0)=2*f(x)*f(x) ①
令y=-x，有f(0)+f(2x)=2*f(x)*f(-x) ②
由上面1、2式可知 f(x)=f(-x）或f(x)=0，以为x为任何实数，f(0)≠0，所以f(x)=0不成立，故f(x)=f(-x）
上次把这题的答案写在评论里面了，你可能没看到

追问

哦哦，谢了

Answer 2

f(a+b) = f(a) + f(b)
f(a - b) = f(a) + f(-b)
两式相加

f(a + b) + f(a - b) = 2f(a) + f(b) + f(-b) = f(a+b+a-b) = f(a+a) = f(a)+f(a) = 2f(a)

f(b) + f(-b) = 0
f(-b) = -f(b)
对于任意实数a, b都成立

所以f(x)是奇函数

追问

不懂