Question

证明当x＞0时，不等式 x/（1+x）＜ln(1+x)＜x成立

Answer 1

设f(x)=ln(1+x)
则f'(x)=1/(1+x)
在[0，x]上应用拉格朗日中值定理
存在ξ∈(0，x)
使得
ln(1+x)-ln(1+0)=f'(ξ)(x-0)
即
ln(1+x)=f'(ξ)·x
由于0＜ξ＜x
所以1/(1+x)＜f'(ξ)＜1/x

追答

代入即可得证。

二十年教学经验，专业值得信赖！
如果你认可我的回答，敬请及时采纳，在右上角点击“评价”，然后就可以选择“满意，问题已经完美解决”了。