Question

Rt△ABC中∠ A=90°以AB为直径的⊙O交BC于点D,过点D作⊙O的切线交AC于点E,BF⊥DE于点F

(1)求证：AE=CE（我会）

（2）若DE=1，⊙O的半径为2，求DF的长

Answer 1

连接OD、AD，做DH⊥AB，交AB于点H。
∵OD⊥EF，BF⊥DF
∴OD//BF
∴∠DOA=∠FBA
又∵∠DOA=2∠DBA
∴∠FBA=2∠DBA
∴∠FBD=∠DBA
在Rt△DHB和Rt△DFB中，
∠FBD=∠DBA，∠DFB=∠DHB，DB=DB
Rt△DHB全等Rt△DFB
DH=DF
在Rt△EAO和Rt△EDO中，
∠EAO=∠EDO，OA=OD，EO=EO
Rt△EAO全等Rt△EDO
EA=DA
AC=2，AB=4，BC=2跟下5
在Rt△CAB和Rt△ADB中，
∠CBA=∠ABD，∠CAB=∠ADB
Rt△EAO相似Rt△EDO
AB/BC=BD/AB
BD=（8跟下5）/5，
在Rt△CAB和Rt△DHB中，
DH/AC=BD/BC
DH=8/5
DF=8/5

Answer 2

证明：连接OD。
∵EF为过点D的圆O的切线，点D在圆O上。∴OD⊥EF。
∵BF⊥DE，OD⊥EF。∴BF∥OD。（垂直于同一直线的两直线平行），∠F=90°
∴∠ODB=∠DBF。
∵OD=OB。∴∠ODB=∠OBD。
∴∠DBF=∠OBD。
∵∠CAB=90°，∠F=90°。∴∠C+∠OBD=∠FDB+∠FBD=90°
∵∠DBF=∠OBD，∴∠C=∠FDB。又∵∠CDE=∠FDB。∴∠C=∠CDE。∴ED=EC。
∵∠CAB=90°，∴EA⊥BA，又∵OA为圆O半径，∴EA为圆O的切线，
∵EF为过点D的圆O的切线，EA为过点A的圆O的切线，∴EA=ED。（切线长定理）
∵ED=EC，EA=ED。∴EA=EC。
（2）解：过D作DG⊥AB。连接AD。
∵DE=1，∴CE=AE=1。（等量代换）
∴CA=CE+AE=1+1=2。
∵⊙O的半径为2，∴AB=2+2=4
在RT△CAB中，CB²=CA²+AB²=2²+4²=20，CB=2√5。
∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°。∴AD⊥CB。
∴S△CAB=AC*AB/2=AD*CB/2=2*4/2=4，解得AD=4*2/CB=8/2√5=4√5/5.
在RT△ADB中，DB²=AB²-AD²=16-16/5=64/5，DB=8√5/5.
S△ADB=DG*AB/2=AD*DB/2=4√5/5*8√5/5/2=32/5，解得DG=（8/5）*2/AB=64/5/4=8/5。
∵∠DBF=∠OBD，∴DB平分∠ABF，
∵DF⊥FB，DG⊥AB，DB平分∠ABF，∴DF=DG=8/5（角平分线的点到角两边的距离相等）