Question

工科数学分析

Answer 1

函数的概念有两个，其一为初中的定义，称为传统定义，其二为高中的定义，称为近代定义。

传统定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量。我们将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

近代定义：设A，B都是非空的数集，f：x→y是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：A→B就叫做函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B，原象集合A叫做函数f(x)的定义域，象集合C叫做函数f(x)的值域，显然有C⊆B。

对函数概念的理解
函数的两个定义本质是一致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。这样，就不难得知函数实质是从非空数集A到非空数集B的一个特殊的映射。

概念理解#
基于对应基础的函数概念的理解[近代定义]

（1）首先需要先搞清楚对应的概念，

关于对应的概念，我们基于蜜蜂采蜜的生活常识来理解，可以一只蜜蜂采一朵花（称为“一对一”的对应），

可以一只蜜蜂采多朵花（称为“一对多”的对应），还可以多只蜜蜂采一朵花（称为“多对一”的对应）

即对应有一对一，一对多和多对一三种对应关系。

（2）映射

能够称为映射的对应只有一对一和多对一两种，其中一对多不能称为映射，

映射f：A→B和映射f：B→A是不一样的。

集合A，B不一定是数集，可以是图形集，式集，点集，向量集等，

（3）函数

非空数集A到非空数集B的映射f：A→B就称为函数，记为y=f(x)。

符号y=f(x)即是“y是x的函数”的数学表示，
应理解为：x是自变量，它是法则所施加的对象；f是对应法则，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；

y是自变量的函数，当x为允许的某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值，

当f用解析式表示时，则解析式为函数解析式。y=f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，

f(x)也不一定是解析式，在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等符号来表示。

（4）映射与函数的关系：

由关系图可以看出，函数是映射的特殊情况，映射是函数的拓展和推广。

函数是特殊的映射，比如f：A→B，其特殊性有以下两点：

①函数是从非空数集A到非空数集B的映射；

②集合B中的每一个元素都有原像，所以A是定义域，B是值域。