Question

请教老师一道题目

函数f(x)=ax+b/x-1-a在x=3处的切线方程与直线(2a-1)x-2y+3=0平行，若方程f（x）=t（x²-2x+3）|x|有三个解，求实数t的范围

Answer 1

f(x)=ax+b/(x-1)-a

f'(x)=a-b/(x-1)²
k=f'(3)=a-b/9
根据题意：
a-b/4=(2a-1)/2
∴4a-b=4a-2
∴b=2
f(x)=ax+2/(x-1)-a
f'(x)=a-2/(x-1)²
方程f（x）=t(x²-2x+3)|x|对吗？

追问

f(x)=x+2/(x-1)-1
这个是f(x)的方程
所以有x+2/(x-1）-1=t(x²-2x+3)|x| (x≠0和1)
t=x+2/(x-1）-1/(x²-2x+3)|x| 上下同乘(x-1)
得到t=1/(x-1)|x| 我就写到这了，我不明白的是题目中的有3个解是什么意思？3个公共点吗？是3个公共点的话，又该怎么做？

追答

a=1？

追问

额，我的题目格式是不是排的不好，老师没看明白啊？
a=1,b=2

追答

好吧

x+2/(x-1）-1=t(x²-2x+3)|x|

(x²-2x+3)/(x-1)=t(x²-2x+3)|x|
∴t=1/[(x-1)|x| ],有3个解
即函数g(x)=1/[(x-1)|x| ]与直线y=t有3个交点。

01时,
g(x)=1/[x(x-1)],
g'(x)=(1-2x)/[x²(x-1)²]
00,g(x)递增
1/21时，g'(x)<0,g(x)递减，g(x)∈(0,+∞)
x<0时，
g(x)=-1/[x(x-1)],g'(x)=(2x-1)/[x²(x-1)²]<0
g(x)在(-∞,0)递减，且g(x)∈(-∞,0)

x (-∞,0) (0,1/2) 1/2 (1/2,1) (1,+∞)
g'(x) - + 0 - -
g(x) 减(恒负) 增 -4 减 减(恒负)

若g(x)=1/[(x-1)|x| ]与直线y=t有3个交点，
则t<-4