Question

高三函数题求解

设f(x)=x2-x-blnx+m,(b,m∈R)
1.当b=3时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；
2.记h(x)=f(x)+blnx,求函数y=h(x)在(0,m]上的最小值；
3.当b=1时，若函数f(x)有零点，求实数m的取值范围。

Answer 1

设f(x)=x2-x-blnx+m,(b,m∈R)
1.当b=3时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；
2.记h(x)=f(x)+blnx,求函数y=h(x)在(0,m]上的最小值；
3.当b=1时，若函数f(x)有零点，求实数m的取值范围。

(1)解析：∵f(x)=x^2-x-blnx+m,(b,m∈R)，其定义域为x>0
令b=3==>f(x)=x^2-x-3lnx+m==> f’(x)=2x-1-3/x=0==>x1=3/2，x2=-1(舍)
f’’(x)=2+3/x^2>0
∴f(x)在x1=3/2处取极小值，即x∈(0,3/2)时单调减，x∈[3/2,+∞)时单调增，

(2)解析：记h(x)=f(x)+blnx= x^2-x-blnx+m+blnx=x^2-x+m=(x-1/2)^2+m-1/4
∵区间[0,m]
当0<m<1/4时，函数y=h(x)在(0,m]上的最小值为h(m)=m^2；
当m>=1/4时，函数y=h(x)在(0,m]上的最小值为h(1/2)=m-1/4；

(3)解析：令b=1时，函数f(x)有零点
f(x)=x^2-x-lnx+m==> f’(x)=2x-1-1/x=0==>x1=1，x2=-1/2(舍)
∴f(x)在x1=1处取极小值f(1)=m
∴m<=0