Question

小学数学教学基本概念解读

Answer 1

面积

面积的起源

古埃及尼罗河每年7月泛滥，11月洪水逐渐减退，洪水过后留下的淤泥，形成肥沃的土壤，同时也带来了土地要重新测量的需求。对于土地的测量，产生了几何学，实际上几何学本来就是“土地测量”的意思。土地的测量需要使图形成为数学的研究对象。土地的多少，图形的大小就是面积。

面积的教学

①在多重体验中建构面积模型，理解面积意义

看一看：雪地上两对脚印的图片，分辨哪个脚印大？

摸一摸：找身边哪些物体上有面，用手摸一摸 。任选两个物体的表面进行比较感受物体表面有大有小，感受面离不开体。

涂一涂：给实物的面涂色，体会面积是区域的大小。

比一比：规则图形及不规则图形的大小比较，比较封闭与不封闭的面积，学生意识到只有封闭图形才有确定的面积。

拼一拼：拼摆七巧板，用七块板拼成一个正方形，让学生理解面的大小，形成单位意识。

②面积认识和应用是循序渐进、不断提高的。

3-6年级的学习中，学生对平面、曲面、表面的大小的认识是逐步加深的。（长方形、正方形的面积3年级--平行四边形面积--梯形面积--三角形的面积--长方体、正方体表面积5年级--圆的面积--圆柱的侧面积、表面积6年级）

对于面积的学习，需要在不断探究、不断体验、不断实践中感悟理解和应用。

截面

截面包括横截面、竖截面、平截面、斜截面。小学阶段一般是横截面，指平行于底面去截。

截面在平时教学中教师很少组织一节课进行研究。但在练习中经常出现相关题型，对学生来说求截面还是有一定的困难。教师可以设计一系列的数学活动，引导学生在活动中深入思考，经历和体会截面的含义。

活动1：切实物，引出截面

活动2：切正方体，体会同一个几何体不同截法，（横切、纵切、斜切）形成的不同截面。

组织学生以小组为单位，将切好的正方体土豆块，每组若干个。问题引领，如果任意切这个正方体切开后截面的形状会是什么样的？截面可能是三角形，正方形，长方形，梯形，五边形，六边形，不能截出七边形，因为正方体只有六个面。

引导学生发现：从不同角度切一个正方体得到的截面，可能是不同形状的平面图形，平面图形的边数由截面经过的正方体表面的面数决定。

表面积

定义：刻画表面积大小的数量及其计算公式。

所有立体图形所能触摸到的面的面积之和是这个图形的表面积。

我们常提到的表面积是指在理想状态下可以触摸到立体图形的，每个面求出各个面的面积之和，而学生在学习长方体和正方体表面积之后，对其的拓展应用，有下面几种情况

①求所能看到的面的面积之和

②求露出的所有面的面积组合（几个图形叠在一起）

③将一个立体图形进行切割，求增加的面的面积之和火球切割后，所有立体图形面积之和。

④求哪种方法包装最省料？（几个相同的物体捆起来）

表面积的教学思路：

①包装式的教学方法

可以引导学生思考为立体图形，涂上鲜艳的外衣，（可以涂色，也可以贴材质）这件外衣怎么穿？在这个过程中，学生需要想把立体图形的拿几个面进行包装。

②化立体为平面的教学设计

立体图形的平面展开图有利于学生空间观念的发展，能够帮助学生在三维二维的相互转换中理解立体图形的表面积。课中引导学生沿着立体图形的棱剪开，将立体图形转化为平面图形，引导观察图形，发现展开后的平面图形的立体图形。

③，化平面为立体的教学设计

为学生提供一些纸板，然后提出以一起来做一个长方体和正方体原著的默写模型，在做的过程中，学生会通过自己的实践操作，发现做一个长方体只要准备好数据合适的六个长方形就可以了，再把六个长方形按一定的方式用胶带围成一个长方体。

侧面积

定义：①立体图形的侧面展开图的面积②物体的侧表面或围成的图形表面的大小

小学常见长方体，正方体和圆柱。通常把长方体正方体前后左右四个面的总面积叫做它的侧面积。圆柱的侧面积就是圆柱曲面的面积。圆锥是将其沿着母线剪开，得到圆锥的侧面展开图是扇形，可以利用扇形面积公式计算。

侧面积教学设计

课前准备各种不同的直柱体实物模型

①认识直柱体，感知什么是侧面

先让学生仔细观察这些立体图形，然后按要求指出这些立体图形的底面，并涂色。说说上下两底面有什么共同特点，最后认识每个立体图形除了上、下两个底面之外，其余的面都是侧面，并用手摸侧面，发现这些侧面的共同点。

②了解直柱体的侧面展开图

先让学生猜一猜，用眼剪刀炎症，一个抵柱体的高将侧面剪开，会得到什么图形？

③认识直柱体的侧面积

让学生在主力交流直柱体的侧面和这个长方形之间有什么联系？得到长方形的长就是直柱体的底面周长，宽就是直柱体的高，因为长方形的面积等于长乘宽，所以这些直柱体的侧面积就可以用底面周长乘高计算。

这样的教学设计给学生提供了充分的实践机会，学生通过动手操作，再画取值的变化中发现题柱体侧面和平面图形之间的联系理解，侧面积的计算方法。

底面积

底面是棱柱中互相平行的两个面，也是在棱柱中有上下两个底面。长方体摆放的方法不同，底面和侧面也会随之变化。圆柱的两个底面是圆形，圆锥只有一个圆形的底面。

底面积教学

（1）从动态的角度丰富学生对底面的认识

①直截：用垂直于柱的母线的平面去截柱体，所得的截面面积与底面积相等。

②射线：把长方形、三角形、正多边形、圆等平面图形进行正射影，所形成的射影面是指直棱柱的底面，两个底面之间的距离是棱柱的高。

③平移：把长方形垂直于平面并沿平面位移，由起点到终点，这条边所扫过的部分就是这个棱柱的底面。

④旋转

（2）一底面积为纽带，沟通知识间的联系掌握计算棱柱体积的方法，形成知识体系

①找共同点沟通联系

②知识迁移构建体系

体积

张奠宙教授指出，物体所占空间的大小叫做物体的体积，这不是严格的定义，只是一种解释。体积是对物体大小的度量，物体运动后体积不变，不重叠的两物体之并的体积是原来两物体的体积之和。

体积的教学一般采用概念形成的方式①实验一，体会物体是占有空间的。把小石块放入水中，发现水面升高②实验二体会物体所占的空间有大小。把大小不同的两块石块放入同样多的水且完全一样的水杯，发现大石块占有的空间不小石块占有空间大。③直观判断验证物体所占空间的大小，出示火柴盒，铅笔盒，鞋盒等熟悉的物品比较哪个盒子占的空间大，帮助学生理解物体占空间大小的含义。④皆是体积的意义，找找身边的物体，说说他的体积。

图形变换

图形变换最重要的两种变换形式：全等变换和相似变换。小学阶段的图形变换过程中有两种形式，一种是图形变换前后图形的形状和大小不变，只是位置变化称为全等变换；另一种是形状不变，但大小发生了变化，这种变化称为相似变换。全等变换主要学习了平移变换，旋转变换和轴对称变换；在六年级比例时候学习图形的放大和缩小时间，而是一种相似变换。

图形的变换在教学时可以在具体情境中引导学生认识变化的现象，再通过观察操作分类的活动，体会变化的特征。在三年级时学生通过平移在方格纸上画一个图形，经过变换后的图形是教学的难点，很多学生认为两个图形中间空的格子就是平移的格数，因此，教师可以通过动画演示，引导学生发现，平移前后对应点的距离是相等的，可以借助点的距离来确定平移的距离，引导学生先描点再连线。

在六年级学完比例之后，研究两个图形，按比例放大或缩小时，教师是教学时可以从生活中的放大缩小引入，让学生感受到生活中存在许多放大和缩小现象，在探究中，学生发现放大或缩小后的图形长和宽的比与原来图形的长和宽的比完全一样的。但此时对于放大或缩小的学习不是相似变换的学习，主要是直观感知，即放大或缩小后的图形与原图形形状相同，大小不同。

旋转

旋转没有严格的定义，只是借助图形直观描述。像这样把一个平面图形绕着平面内某一点o转动的一个角度叫做图形的旋转。

旋转在生活中广泛存在的现象，但生活中的旋转现象并不是绝对意义上的，数学中的旋转。教师要引导学生借助相关的生活经验，关注旋转前后图形的大小和形状有没有发生改变？对应点到旋转中心的距离是否相等？对应点与旋转中心所连线的夹角是否等于旋转角。既要抓住旋转的三要素，旋转中心方向和角度来辨别旋转运动。

旋转的学习分两个学段，第一学段要求学生借助日常生活中对图形运动现象的观察与直观，感受了解旋转。第二学习学段要求按要求在方格纸上画出一个图形，经过旋转后得到的图形，运用图形的旋转运动进行图形的设计与欣赏。

第一阶段，在教学平移与旋转一课时，可以从学生熟悉的游乐场入手，观察娱乐场的相关视频，鼓励学生按他们不同的运动方式分类，从而进一步体会平移与旋转的特征点。

第二学段教学中，首先教师要明确本学段的具体要求，要求学生在方格纸上画出一个图形，经过旋转后所得的图形，只要求学生在方格纸上将简单的图形旋转90度不要求图形绕着一点旋转任意角度。其次，在教学中要重视图形欣赏与设计一课，在设计或欣赏一个图案时，教师要鼓励学生说出自己的感受和解释，允许学生发表自己的看法，但要让学生用自己的语言清楚地表达图案中的运动关系。

对称

没有明确的定义，但要求学生能结合具体实例认识对称，其中重要认识轴对称图形。可以把对称理解为图形或物体，对某一点直线或平面而言，在大小形状和排列上，具有一一对应的关系。

对称图形可分为中心，对称图形轴，对称图形和旋转对称图形。平行四边形是中心对称图形圆是一个具有对称性的图形，它既是轴对称，同时也是中心对称和旋转对称图形，所有的中心对称图形都是旋转对称图形。

轴对称图形与中心对称图形的区别：

轴对称图形要沿某直线折叠后，直线两旁的部分一定会互相重合。中心对称图形是图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合。

既是轴对称图形，又是中心对称图形的，有长方形，正方形，圆菱形直是轴对称图形的有角等腰，三角形等边三角形等腰梯形，只有中心对称的图形有平行四边形，既不是轴对称图形，又不是中心对称的图形，有不等边三角形，非等腰梯形。

轴对称

没有严格的定义，小学阶段是借助日常生活中对图形运动现象的观察和直观感受来认识轴对称，并通过在方格纸上补全一个轴对称图形来体会轴对称图形的特征。

轴对称与轴对称图形是两个既有关联又一混淆的概念，轴对称的意义是两个图形，关于一条直线或或一个点对称，它揭示的是两个图形所具有的一种特殊位置关系，而轴对称图形揭示的是一个图形自身具有的特殊性质。也可以这样理解轴对称和轴对称图形是关于某条直线对称，前者是对称图形，后者是指对称图形的两部分。

轴对称图形分两个阶段学习：

第一学段主要是学生通过观察生活中大量的轴对称现象进行比较概括，发现这些图形之间的共同特点，运用自己的语言加以描述。

第二学段是要求学生在方格纸上补全一个轴对称图形和进行图形设计与欣赏体会轴对称图形的特征，关注对应点之间的关系。

在教学时，从学生熟悉的对称现象入手，通过观察找到它们的共同点，接着可以让学生动手折一折比一比，通过对折比较发现对折后左右两边完全重合，发现图形的轴对称性体会轴对称图形的特征，并认识对称轴，教师可以从学生熟悉的食物展开教学，可以借助课件的演示，沿着食物的轮廓，把食物画下来，让学生看到实物抽象成面图形的过程，例如蝴蝶图。然后让学生从一组平面图形或图案中选择轴对称图形，并对自己的选择做出解释或验证

对称轴

如果一个平面图形沿一条直线折叠直线两旁的部分，能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴

对称轴应该认识以下几点：

①对称轴是一条直线，而不是线段或射线。②找到对称轴是确定轴对称的关键。③对称点到对称轴的距离相等。④对称轴不一定只有只有一条，还可以是两条，三条或无数条。