Question

已知等差数列an的前n项的和记为Sn a4＝-12，a8＝-4求 Sn的最小值及其相应的n的值

Answer 1

解：等差数列{an}公差为d，则an=a1+(n-1)d
所以a4＝a1+3d=-12，
a8＝a1+7d=-4
解得a1=-18,d=2
所以an=a1+（n-1)d＝-18+2*（n-1)＝2n-20
所以sn＝（a1+an）*n/2＝（-18+2n-20)n/2=n ²-19n=（n-19/2) ²-361/4
求Sn的最小值一般有2种方法
方法1、
直接由Sn表达式来求Sn的最小值
Sn = n²-19n
=(n-19/2)² -361/4
由于n是正整数，所以n=9或10时，Sn有最小值
当n=9时，Sn=-90
当n=10时，sn=-90
所以Sn最小值是-90，此时n=9
方法2、
要使Sn为最小，则只要an<0且a(n+1)≥0即可
2n-20<0且2(n+1)-20≥0
解得9≤n<10
由于n是正整数，所以n=9
Sn最小值是S9=n ²-19n=9²-19*9=-90

Answer 2

因为等差数列an的前n项的和记为Sn
所以sn＝（a1+an）*n/2
而a4＝a1+3d=-12，
a8＝a1+7d=-4
所以两式联立得：a1=-18,d=2
所以an=a1+（n-1)d＝-18+2*（n-1)＝2n-20
所以sn＝（a1+an）*n/2＝（-18+2n-20)n/2=n^2-19n
对sn求导，即：sn'=2n-19
当sn'＝0时，即n＝19/2时，sn有最小值，由于n为自然数，故n为9或10
所以当n＝9或10时，sn最小值＝9^2-19*9=10^2-19*10=-90

Answer 3

(1)a4=-12 a8=-4
a8-a4=4d 所以d=2 a4=a1+3d 所以a1=-18
所以an=a1+(n-1)*d=-18+2(n-1)=2n-20

(2)Sn=(a1+an)*n/2=(2n-38)*n/2=n^2-19n=(n-19/2)^2-(19/2)^2
所以n=9或者 n=10时，Sn取最小值
最小值为S9=S10=-90
n=9或10

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