Question

(请直接证明)在空间四边形ABCD中，AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,则向量AC*向量BD？答案是：-0.5*(a^2-b^2+c^2-d^2)

麻烦了！好的加50分！！！
二楼的AC*BD=BC(BC+AB+CD)+AB*CD = AD*BC+AB*CD (4)
不太懂呀。。。
怎么知道对角线的向量积为对边向量积的和？

Answer 1

高一向量定律啊.
根据这个公式可以得到..AC=AB+BC啊BD=BC+CD...
所以AC=a+b BD=b+c
很简单嘛.这是向量的加法最基本的哦！可要学好哦

Answer 2

解：a^2-b^2+c^2-d^2=（a+b)*(a-b)+(c+d)*(c-d)
=AC*(AB-BC)+CA*(CD-DA)
=AC*(AB-BC+DA-CD)
DA+AB=DB BC+CD=BD AB-BC+DA-CD=(DA+AB)-(BC+CD)=DB-BD=-2BD
=>a^2-b^2+c^2-d^2=AC*(-2BD)=-2(AC*BD)
=>AC*BD=-0.5(a^2-b^2+c^2-d^2)
证毕！

Answer 3

AC*BD=(AB+BC)*(BC+CD)= (AD+DC)*(BA+AD)
=BC²+BC(AB+CD)+AB*CD = AD² - AD(AB+CD) + AB*CD
上面2式相加得 2AC*BD=BC²+AD² + 2AB*CD +(BC-AD)(AB+CD) (1)
另外
AC*BD=(AB+BC)*(BA+AD) = (AD+DC)*(BC+CD)
=-AB²+AB(AD-BC)+AD*BC = -CD²+CD(AD-BC)+AD*BC
上面2式相加得 2AC*BD=-AB²-CD²+2AD*BC+(AD-BC)(AB+CD) (2)
(1)+(2)得4AC*BD=BC²+AD²-AB²-CD² + 2(AB*CD+AD*BC) (3)
又由于AC*BD=BC(BC+AB+CD)+AB*CD = AD*BC+AB*CD (4)
由(3)-4*(2)
2AC*BD=BC²+AD²-AB²-CD²
=a²+c²-b²-d²

Answer 4

AC*BD=(a+b)*(b+c)
=b^2+ab+ac+bc
=b^2+((a+b+c)^2-a^2-b^2-c^2)/2
=(1/2)*(b^2-a^2-c^2+(a+b+c)^2)
而空间四边形ABCD中 AB=a,BC=b,CD=c,DA=d
所以d=-(a+b+c) 带入原式立得
AC*BD=(1/2)*（b^2-a^2-c^2+d^2）