在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E、F分别是AB、BB1、CC1的重点，AB=BC=AC=BB1=2.
亲 首先我要麻烦你画个图，我附加了个有点丑，你先按照题目要求画出来，然后开始解题：
（1）这问容易：作AC中点G，由题已知abc是等边三角形，侧面是正方形
连接DG，EF ，AC1
因为DG//BC//EF
所以DGFE在同一平面上
因为GF是三角形ACC1的中位线
所以AC1//GF
所以AC1//平面DGFE即平面DEF
（2）做F点在平面ABB1A1的映射点F'，我们会发现F'是正方形ABB1A1的对角线交点。
（上面这个证明很简单，连接CD，C1和A1B1的中点，这个A1B1中点我没画 设为R吧，我们会发现面CDRC1是垂直于面ABB1A1的，那么F的投影也就是DR的的中点即正方形ABB1A1的对角线交点）
过F'点在平面ABB1A1上做DE的垂线交DE与H，再连接H与F
因为DE垂直与F'H，且DE垂直于F'F（F'F垂直于面ABB1A1，必然垂直于ED）
所以DE垂直于平面HFF'
而角∠FHF'就等于二面角A-DE-F
已知F'是正方形ABB1A1的对角线交点，因为DE平行于对角线AB1，而F'H垂直于DE，所以F’H在对角线BA1上（这个我没细写 你应该懂得，正方形对角线垂直，F'是对角线的交点）
所以F'H=1/4×BA1=√2/2
然后在等腰梯形DGFE得出∠HEF的正弦值为√14/4（那个梯形4个边你都简单就算出来了） 所以得HF=EF×sin∠HEF=√14/2
所以 cos∠FHF'=HF'/HF=√7/7
所以二面角A-DE-F的余弦值为√7/7
